Показательные уравнения

Показательные функции и уравнения начали активно изучаться в XVII веке с развитием математического анализа. Основоположниками были Исаак Ньютон, Готфрид Лейбниц, а также Леонард Эйлер, который ввёл число e как основание натурального логарифма. Показательные уравнения стали важным инструментом в физике, биологии, экономике и других науках для описания процессов роста и убывания.

Показательные уравнения · интерактивный тренажёр

🎯 Что это такое?

Показательное уравнение — уравнение, в котором неизвестная находится в показателе степени.

Основные виды: aˣ = b, aᶠ⁽ˣ⁾ = aᵍ⁽ˣ⁾ и более сложные комбинации.

1. Приведение к одинаковому основанию

Суть: Преобразовать обе части к степени с одинаковым основанием.

4ˣ = 8²ˣ⁻¹

Решение: (2²)ˣ = (2³)²ˣ⁻¹ → 2²ˣ = 2⁶ˣ⁻³ → 2x = 6x - 3 → x = 0.75

💡 Числа 4 и 8 представили как степени 2

2. Вынесение общего множителя

Суть: Вынести общую показательную функцию за скобки.

2ˣ⁺¹ + 2ˣ = 12

Решение: 2ˣ·2 + 2ˣ = 12 → 2ˣ(2+1) = 12 → 3·2ˣ = 12 → 2ˣ = 4 → x = 2

💡 Использовали свойство aˣ⁺ⁿ = aˣ·aⁿ

3. Замена переменной

Суть: Ввести t = aˣ и свести к квадратному уравнению.

9ˣ - 4·3ˣ + 3 = 0

Решение: t = 3ˣ → t² - 4t + 3 = 0 → t = 1 или t = 3 →
3ˣ = 1 → x = 0; 3ˣ = 3 → x = 1

💡 9ˣ = (3²)ˣ = 3²ˣ = (3ˣ)²

Показательное уравнение — это уравнение, в котором неизвестная переменная находится в показателе степени.

Общий вид:

a^{f(x)} = b , \text{где } a > 0, a ≠ 1 , b > 0 \\

Условие: aᶠ⁽ˣ⁾ определена когда:

a > 0
a ≠ 1

Особые случаи:

Если a < 0: функция определена только для целых f(x) или рациональных с нечетным знаменателем
Если a = 1: 1ᶠ⁽ˣ⁾ = 1 для любого f(x)
Если a = 0: 0ᶠ⁽ˣ⁾ = 0 при f(x) > 0, не определено при f(x) ≤ 0

Показательная функция aˣ всегда положительна (aˣ > 0) при a > 0, a ≠ 1.

Основные приемы решения

1: Решение уравнения вида `aᶠ⁽ˣ⁾ = aᵍ⁽ˣ⁾`

Основное свойство

Основное свойство, на котором строится решение большинства показательных уравнений — монотонность показательной функции. Если основания одинаковы и положительны (кроме 1), то показатели можно приравнять.

\text{Если } a > 0 \text{ и } a ≠ 1, \text{то } aᶠ⁽ˣ⁾ = aᵍ⁽ˣ⁾ ⇔ f(x) = g(x)

Используя свойства степеней, преобразуем обе части уравнения к степени с одним и тем же основанием. Затем переходим к равенству показателей.

Основные формулы и свойства

a^m \cdot a^n = a^{m+n}\\ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\\ (a^m)^n = a^{m \cdot n}\\ a^{-n} = \frac{1}{a^n}\\ a^0 = 1\\ a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}\\

Задание 1.1. Решите уравнение:

8^{x-2} = 4^{x}

Решение:

(2^3)^{x-2} = (2^2)^{x}\\ 2^{3(x-2)} = 2^{2x}\\ 2^{3x - 6} = 2^{2x} \\ 3x - 6 = 2x \\ x = 6 \\

\boxed{6}

Задание 1.2. Решите уравнение:

\left( \frac{1}{9} \right)^{x-1} = 27 ^x

Решение:

(3^{-2})^{x-5} = 3^{3x}\\ 3^{-2(x-5)} = 3^{3x}\\ 3^{-2x + 10} = 3^{3x} \\ -2x + 10 = 3x \\ -5x = -10 \\ x = 2

\boxed{2}

2: Решение уравнения вида `aᶠ⁽ˣ⁾ = b`

a^{f(x)} = b \\ \text{где } a > 0, a \neq 1 \text{ и } b > 0

Почему b > 0? Потому что показательная функция всегда принимает только положительные значения. Если b < 0, уравнение не имеет решений.

a^{f(x)} = b \Rightarrow f(x) = \log_{a}{b}

Задание 2.1. Решите уравнение:

2^x = 5

Решение:

x = \log_{2}{5}

Когда b является степенью основания a решение упрощается.

Задание 2.2. Решите уравнение:

2^{x-3} = 16

Решение

x - 3 =\log_{2}{16} =4\\ x = 7

\boxed{7}

Задание 2.3. Решите уравнение:

3^{x+1} = \frac{1}{27}

Решение

3^{x+1} = 3^{-3} \\ x + 1 = -3 \\ x = -4

\boxed{-4}

3:Решение уравнения вида `A·a²ᶠ⁽ˣ⁾ + B·aᶠ⁽ˣ⁾ + C = 0`

\text{Уравнение вида } k \cdot a^{2f(x)} + m \cdot a^{f(x)} + n = 0 \text{ решается заменой: } t = a^{f(x)}, t > 0

После замены получаем квадратное уравнение:

k t^2 + m t + n = 0

Задание 3.1. Решите уравнение:

4^x - 5 \cdot 2^x + 4 = 0

Решение:

(2^2)^x - 5 \cdot 2^x + 4 = 0 \\ (2^x)^2 - 5 \cdot 2^x + 4 = 0 \\ Замена:  t = 2^x, \quad t > 0 \\ t^2 - 5t + 4 = 0 \\ t_1 = 1, \quad t_2 = 4 \\ \text{Обратная замена: } 2^x = 1 \Rightarrow 2^x = 2^0 \Rightarrow x = 0\\ 2^x = 4 \Rightarrow 2^x = 2^2 \Rightarrow x = 2 \\ Ответ: x_1 = 0, \quad x_2 = 2

\boxed{0} \quad \text{и} \quad \boxed{2}

Задание 3.2. Решите уравнение:

3^{2x} - 4 \cdot 3^x - 45 = 0

Решение:

(3^x)^2 - 4 \cdot 3^x - 45 = 0 \\ Замена:  t = 3^x, \quad t > 0 \\ t^2 - 4t - 45 = 0 \\ D = 16 + 180 = 196 \\ t_1 = \frac{4 + 14}{2} = 9, \quad t_2 = \frac{4 - 14}{2} = -5  (\text{не подходит, т.к.  } t > 0 )\\ \text{Обратная замена: } \\ 3^x = 9 \\ 3^x = 3^2 \\ x = 2

\boxed{2}

Задание 3.3. Решите уравнение:

9^x - 4 \cdot 3^x + 3 = 0\\

Решение

(3^2)^x - 4 \cdot 3^x + 3 = 0\\ (3^x)^2 - 4 \cdot 3^x + 3 = 0\\ \text{Замена } t = 3^x > 0\\ t^2 - 4t + 3 = 0\\ t_1 = 1, t_2 = 3\\ \text{Обратная замена:}\\ 3^x = 1 \Rightarrow 3^x = 3^0 \Rightarrow x_1 = 0\\ 3^x = 3 \Rightarrow 3^x = 3^1 \Rightarrow x_2 = 1\\ \text{Ответ: } x_1 = 0, x_2 = 1\\

\boxed{0} \quad \text{и} \quad \boxed{1}

4: Решение уравнения вида `k₁·aᶠ⁽ˣ⁾+k₂·aᵍ⁽ˣ⁾=C`

Случай 1: f(x)=g(x), разные коэффициенты

Общий вид

k₁ · aᶠ⁽ˣ⁾ + k₂ · aᶠ⁽ˣ⁾= C\\

Решение. Просто складываем коэффициенты

a^{f(x)}(k₁ +k₂) = C

Пример:

3 · 2ˣ + 5 · 2ˣ = 16\\ (3 + 5) · 2ˣ = 16\\ 8 · 2ˣ = 16\\ 2ˣ = 2\\ x = 1

Случай 2: f(x) и g(x) — разные

Общий вид

k₁ · aᶠ⁽ˣ⁾ + k₂ · aᵍ⁽ˣ⁾ = C\\

Метод: вынести общий множитель за скобки

Задание 4.1 . Решите уравнение:

5^{x+1} + 5^{x} = 150

Решение:

5 \cdot 5^{x} + 5^{x} = 150 \\ 5^{x} (5 + 1) = 150 \\ 5^{x} \cdot 6 = 150 \\ 5^{x} = 25 \\ 5^{x} = 5^2 \\ x = 2

\boxed{2}

Задание 4.2. Решите уравнение:

5^{2x-1} - 5^{2x-3} = 4.8

Решение:

5^{2x} \cdot 5^{-1} - 5^{2x} \cdot 5^{-3} = 4.8 \\ 5^{2x} \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{125} \right) = 4.8 \\ 5^{2x} \left( \frac{25}{125} - \frac{1}{125} \right) = 4.8\\ 5^{2x} \cdot \frac{24}{125} = 4.8 \\ 5^{2x} = 4.8 \cdot \frac{125}{24}\\ 5^{2x} = 0.2 \cdot 125\\ 5^{2x} = 25 \\ 5^{2x} = 5^2 \\ 2x = 2 \\ x = 1

\boxed{1}

Вынесение общего множителя за скобки можно использовать и при решении уравнений, содержащих степени с двумя разными основаниями

Случай 3: Разные основания, но одинаковая функция в показателе

Общий вид

k₁ \cdot aᶠ⁽ˣ⁾ + k₂ \cdot bᶠ⁽ˣ⁾ = C

Метод: Деление на одну из показательных функций

Задание 4.3. Решите уравнение:

5^{x+1}+ 2 \cdot 5^x= 3^{x+2}- 2 \cdot 3^x\\

Анализ: Перенесем все слагаемые в одну сторону и сгруппируем по основаниям.

5^{x+1}+ 2 \cdot 5^x -3^{x+2}+ 2 \cdot 3^x=0\\

Выносим общие множители в каждой группе:

\text{Для степеней с основанием 5: } 5^{x+1}+ 2 \cdot 5^x = 5 \cdot 5^x +2 \cdot 5^x =7 \cdot 5^x\\ \text{Для степеней с основанием 3: } -3^{x+2}+ 2 \cdot 3^x = -9 \cdot 3^x + 2 \cdot 3^x=-7 \cdot3^x

Теперь выносим общий числовой множитель 7 и делим на 7 (7 ≠ 0):

7 \cdot 5^x - 7\cdot 3^x = 0\\ 7 \cdot (5^x - 3^x) = 0 \\ 5^x - 3^x = 0 => 5^x = 3^x

Делим обе части на 3^x (поскольку 3^x > 0 для любого x, мы не теряем корней):

(5/3)^x = 1\\ (5/3)^x = (5/3)^0\\ x = 0

\boxed{0}

Случай 4: Сумма взаимно обратных показательных функций

Общий вид

aᶠ⁽ˣ⁾ + a⁻ᶠ⁽ˣ⁾ = C

Метод: Замена t = aᶠ⁽ˣ⁾, тогда a⁻ᶠ⁽ˣ⁾ = 1/t

2ˣ + 2⁻ˣ = 3\\ Замена: t = 2ˣ (t > 0)\\ Уравнение: t + 1/t = 3\\

5: Решение уравнения вида `aᶠ⁽ˣ⁾ = bᵍ⁽ˣ⁾`

Общий вид

a^{f(x)} = b^{g(x)}

Методы решения:

Логарифмирование: f(x)·ln(a) = g(x)·ln(b)
Приведение к одному основанию (если возможно)

Общий подход

Логарифмируем обе части по любому удобному основанию.

a^{f(x)} = b^{g(x)} \Rightarrow \log_{c}(a^{f(x)}) = \log_{c}(b^{g(x)}) \Rightarrow f(x) \cdot \log_{c}a = g(x) \cdot \log_{c}b

Основание логарифма c выбирают удобным (10, e или одно из оснований a или b)

\ln(a^{f(x)}) = \ln(b^{g(x)}) \\ f(x) \cdot \ln(a) = g(x) \cdot \ln(b)

Задание 5.1. Решите уравнение:

12^{x-1} = 3^{x+1}

1 способ
Логарифмируем обе части (например, по основанию 10):

\lg(12^{x-1}) = \lg(3^{x+1}) \\ (x-1)\lg 12 = (x+1)\lg 3 \\ x\lg 12 - \lg 12 = x\lg 3 + \lg 3 \\ x(\lg 12 - \lg 3) = \lg 3 + \lg 12 \\ x \cdot \lg 4 = \lg 36 \\ x = \frac{\lg 36}{\lg 4} \\

Упрощаем ответ (используем формулу перехода к новому основанию)

Формула: \frac{\log_c b}{\log_c a} = \log_a b \\ \text{В нашем случае: } x = \frac{\lg 36}{\lg 4} = \log_4 36 \\ \text{Можно упростить дальше, так как }36 = 6^2 и 4 = 2^2 :\\ x = \log_{2^2}(6^2) = \frac{2}{2} \log_2 6 = \log_2 6

2 способ

12^{x-1} = 3^{x+1} \\ (3 \cdot 4)^{x-1} = 3^{x+1} \\ 3^{x-1} \cdot 4^{x-1} - 3^{x+1}=0 \\ 3^{x-1} \cdot(4^{x-1} -9) =0\\ 2^{2(x-1)} = 9 , (\text{ учтем что, } 3^{x-1} \neq 0 ) \\ 2^{2x-2} = 9 \\\ 2x - 2 = \log_2 9 \\ 2x - 2 = 2\log_2 3 \\ x - 1 = \log_2 3 \\ x = 1 + \log_2 3 = \log_2 2 + \log_2 3 =\log_2 6

Логарифмирование обеих частей — универсальный метод, особенно когда переменная есть и в основании, и в показателе степени (показательно-степенные уравнения).

6: Решение уравнения вида `(g(x))ᶠ⁽ˣ⁾ = b`

Основание показательной функции должно быть положительным:
g(x) > 0

Граничные случаи:

Случай A: g(x) = 1

1 в любой степени = 1
Уравнение: 1ᶠ⁽ˣ⁾ = b => верно, если b = 1

Случай B: g(x) = -1

-1 в четной степени = 1, в нечетной = -1
Уравнение: (-1)²ᶠ⁽ˣ⁾ = b. Поскольку 2f(x) — всегда четное число, то (-1)²ᶠ⁽ˣ⁾ = 1. Значит, верно когда b = 1

Случай C: f(x) = 0 и g(x) ≠ 0

Любое число в нулевой степени = 1
Уравнение: (g(x))⁰ = b => верно, если b = 1

Задание 6.1. Решите уравнение:

(x - 3)²ˣ = 4

Поскольку основание степени — x−3 , а показатель — 2x , то нужно учитывать, когда выражение (x−3)^2x определено в действительных числах.

Если x−3>0 → x>3 , то всё хорошо: любая действительная степень определена.
Если x−3=0 → x=3 — не подходит.
Если x−3<0 → основание отрицательное. Тогда степень 2x должна быть целым числом, иначе выражение не определено в R .

Решение:

(x - 3)²ˣ = 4\\ (x - 3)²ˣ = [(x - 3)ˣ]² = 4\\ |(x - 3)ˣ| = 2

Здесь x - 3 может быть как положительным, так и отрицательным, поскольку в четной степени: |x - 3| = 2.

Рассмотрим два случая:

(x - 3)ˣ = 2\\ (x - 3)ˣ = -2

Первое уравнение имеет решение (можно найти численно), второе — нет.

Проверим: x=1 → 2x=2 — целое, основание −2 — отрицательное, но степень целая , четная→ выражение определено.

(1−3) ^{2⋅1} =(−2) ^2 =4\\ 4=4

Значит, x=1 является решением.

Уравнение имеет 2 решения. Ещё одно действительное решение при x>3 , которое можно найти численно.

Задание 6.2. Решите уравнение:

x^{\lg x} = 100x\\ ОДЗ: x > 0

Решение:

\text{ Логарифмируем обе части: } \lg(x^{\lg x}) = \lg(100x) \\ Упрощаем: (\lg x)^2 = 2 + \lg x \\ \text{ Замена } t = \lg x :\\ t^2 - t - 2 = 0 \\ Корни: t_1 = 2 , t_2 = -1 \\ \text{ Обратная замена: }\\ \lg x = 2 \Rightarrow x = 100 \\ \lg x = -1 \Rightarrow x = 0.1 \\ Ответ: x_1 = 100 , x_2 = 0.1

\boxed{100} \quad \text{и} \quad \boxed{0.1}

Важно! Для уравнений вида:

[f(x)]^{g(x)} = 1

рассматривать отдельные случаи:

f(x) = 1 \\ g(x) = 0 \text { при }f(x) \neq 0 \\ f(x) = -1 \text { и } g(x) \text { - четное число}

Задания для самостоятельной работы

2^{x} = 32 \\ 3^{x-1} = 81 \\ 5^{2x} = \frac{1}{125} \\ \left( \frac{1}{4} \right)^x = 8 \\ 7^{x+2} = 1 \\ 8^{x-1} = 16^{x+2} \\ 9^x \cdot 3^{x^2} = 27^{2x} \\ 25^x - 6 \cdot 5^x + 5 = 0 \\ 4^x - 2^{x+1} - 8 = 0 \\ \sqrt{3^{x-1}} = 9^{x+2} \\ 3^{x+1} + 3^x = 108 \\ 2^{x+2} - 2^{x-1} = 14 \\ 5^{x} + 5^{x+2} = 130\\ 7^{x-1} - 7^x = -6 \\ 2^{x-1} + 2^{x-2} + 2^{x-3} = 28 \\ 4^x - 5 \cdot 2^x + 4 = 0 \\ 3^{2x} - 8 \cdot 3^x + 15 = 0 \\ 2^{2x} - 3 \cdot 2^{x+1} + 8 = 0 \\ 9^x - 4 \cdot 3^x + 3 = 0 \\ 2^{x+1} + 4^x = 3 \\ 2^x = 3^{x-1} \\ 5^{x+1} = 7^{2x} \\ 3^x \cdot 2^{x+1} = 5 \\ 4^{x-1} = 5^{x+2} \\ 2^{x} = 3 \cdot 5^{x} \\ 2^{x^2} \cdot 5^x = 0.1 \cdot 10^{x+1} \\ \sqrt[x]{16} = 64 \\ 3^{x+1} + 3^{2-x} = 28 \\ |2^x - 3| = 5 \\ 2^{|x-1|} = 4^{x+2} \\ \log_2(3^x - 1) = x

Дополнительно:

Бабичева Т.А. Учебное пособие «Решение показательных уравнений и неравенств»

ТЕМЫ

ЕГЭ ПРОФИ

Показательные уравнения