Последовательности: способы задания

От /

Что такое последовательность?

Последовательность — это упорядоченный набор элементов (чисел, объектов и т.д.), каждому из которых поставлено в соответствие натуральное число — его номер.

Проще говоря, это бесконечный (или конечный) список, где у каждого элемента есть своё место (первый, второй, третий и т.д.).

Обозначение:

  • a₁, a₂, a₃, ..., aₙ, ...
  • {aₙ} — короткое обозначение всей последовательности.
  • aₙ — это общий член последовательности (n-й член).

Примеры:

  • 1, 4, 9, 16, 25, ... (последовательность квадратов натуральных чисел, aₙ = n²)
  • 2, 3, 5, 7, 11, 13, ... (последовательность простых чисел)
  • 1, -1, 1, -1, 1, ... (последовательность aₙ = (-1)ⁿ⁺¹)

Способы задания последовательностей

Существует три основных способа задания последовательностей.

Способ 1. Аналитический (с помощью формулы n-го члена)

Это самый распространенный способ. Мы задаем формулу, которая выражает член последовательности aₙ напрямую через его номер n.

Пример 1:

  • aₙ = 2n - 1
  • Подставляем значения n:
    • n=1: a₁ = 2*1 - 1 = 1
    • n=2: a₂ = 2*2 - 1 = 3
    • n=3: a₃ = 2*3 - 1 = 5
  • Получаем последовательность: 1, 3, 5, 7, 9, ... (последовательность нечётных чисел)

Пример 2:

  • aₙ = 1/n
  • Последовательность: 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ...

Преимущество: Можно сразу найти любой член последовательности, не вычисляя предыдущие. Например, чтобы найти a₁₀₀ в первом примере, просто подставляем в формулу: a₁₀₀ = 2*100 - 1 = 199.

Способ 2. Рекуррентный (возвратный)

Этот способ задает правило, по которому каждый следующий член последовательности вычисляется через один или несколько предыдущих. Слово «рекуррентный» происходит от латинского recurro — «возвращаться назад».

Важно: При таком способе обязательно нужно задать один или несколько первых членов (базу).

Пример 1: Арифметическая прогрессия

  • a₁ = 3 (начальное условие)
  • aₙ = aₙ₋₁ + 4 (рекуррентное соотношение)
  • Вычисляем:
    • a₂ = a₁ + 4 = 3 + 4 = 7
    • a₃ = a₂ + 4 = 7 + 4 = 11
    • a₄ = a₃ + 4 = 11 + 4 = 15
  • Получаем: 3, 7, 11, 15, 19, ...

Пример 2: Последовательность Фибоначчи (классический пример)

  • a₁ = 1, a₂ = 1 (начальные условия)
  • aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₋₂ (каждый следующий член равен сумме двух предыдущих)
  • Вычисляем:
    • a₃ = a₂ + a₁ = 1 + 1 = 2
    • a₄ = a₃ + a₂ = 2 + 1 = 3
    • a₅ = a₄ + a₃ = 3 + 2 = 5
  • Получаем: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...

Недостаток: Чтобы найти, например, a₁₀₀, придётся вычислить все предыдущие 99 членов.

Способ 3. Словесный

Последовательность описывается словами, без явных формул. Этот способ часто используется для задания сложных или не поддающихся простому аналитическому описанию последовательностей.

Пример 1:

  • «Последовательность простых чисел» (2, 3, 5, 7, 11, 13, ...). Несмотря на свою важность, до сих пор не найдена простая формула для n-го простого числа.

Пример 2:

  • «Последовательность десятичных знаков числа π» (1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 3, 5, ...)

Сводная таблица

СпособСутьПлюсыМинусыПример
АналитическийФормула aₙ = f(n)Можно найти любой член напрямуюНе всегда легко увидеть закономерностьaₙ = n²
РекуррентныйПравило вычисления через предыдущие членыЛегко задать сложные последовательностиЧтобы найти a₁₀₀, нужны все a₁—a₉₉a₁=1, aₙ=aₙ₋₁+2
СловесныйОписание на естественном языкеУниверсаленНе всегда точен, требует интерпретации«Простые числа»

Задания

Найти несколько первых членов последовательности (аналитическое задание)

Дана формула n-го члена. Найдите первые 4-5 членов последовательности.

  1. aₙ = 5n - 2
  2. aₙ = n² + 1
  3. aₙ = 3 * (½)ⁿ⁻¹
  4. aₙ = (-2)ⁿ
  5. aₙ = (n + 1) / n

Найти конкретный член последовательности

Используя формулу, найдите указанный член последовательности.

  1. aₙ = 4n + 7. Найдите a₂₀.
  2. aₙ = 3ⁿ⁻¹. Найдите a₅.
  3. aₙ = n(n - 3). Найдите a₁₀.
  4. aₙ = 100 - n². Найдите a₈.
  5. aₙ = 1 / (n(n+1)). Найдите a₅.

Рекуррентное задание

Даны первый член и рекуррентная формула. Найдите несколько следующих членов.

  1. a₁ = 6, aₙ = aₙ₋₁ - 4. Найдите a₂, a₃, a₄.
  2. a₁ = 120, aₙ = aₙ₋₁ / 2. Найдите a₂, a₃, a₄, a₅.
  3. a₁ = 1, a₂ = 3, aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₋₂. Найдите a₃, a₄, a₅, a₆.
  4. a₁ = 2, aₙ = 3 * aₙ₋₁ + 2. Найдите a₂, a₃, a₄.
  5. a₁ = 4, a₂ = 5, aₙ = aₙ₋₁ * aₙ₋₂. Найдите a₃, a₄, a₅.

«Обратные» задачи

Найдите формулу n-го члена или рекуррентное соотношение по заданной последовательности.

  1. Дана последовательность: 7, 11, 15, 19, 23, .... Задайте ее формулой n-го члена.
  2. Дана последовательность: 2, 6, 18, 54, 162, .... Задайте ее рекуррентно.
  3. Дана последовательность: 1, 4, 9, 16, 25, .... Задайте ее формулой n-го члена.
  4. Дана последовательность: 1, 3, 6, 10, 15, 21, ... (треугольные числа). Попробуйте найти закономерность и задать ее рекуррентно (a₁ = 1, aₙ = ?).
  5. Дана последовательность: 5, 3, 1, -1, -3, .... Задайте ее формулой n-го члена.

Словесное задание и логика

Решите задачу, основанную на описании последовательности.

  1. Последовательность простых чисел начинается так: 2, 3, 5, 7, 11, 13, .... Чему равен девятый член этой последовательности (a₉)?
  2. Последовательность Фибоначчи задана рекуррентно: a₁ = 1, a₂ = 1, aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₋₂. Чему равна сумма первых шести членов этой последовательности?
Ответы
  1. 3, 8, 13, 18, 23
  2. 2, 5, 10, 17, 26
  3. 3, 1.5, 0.75, 0.375, 0.1875
  4. -2, 4, -8, 16, -32
  5. 2, 1.5, 1.(3), 1.25, 1.2
  6. a₂₀ = 4*20 + 7 = 87
  7. a₅ = 3⁴ = 81
  8. a₁₀ = 10*(10-3) = 70
  9. a₈ = 100 - 64 = 36
  10. a₅ = 1/(5*6) = 1/30
  11. a₂=2, a₃=-2, a₄=-6
  12. a₂=60, a₃=30, a₄=15, a₅=7.5
  13. a₃=4, a₄=7, a₅=11, a₆=18
  14. a₂=8, a₃=26, a₄=80
  15. a₃=20, a₄=100, a₅=2000
  16. aₙ = 4n + 3 (шаг прогрессии +4)
  17. a₁ = 2, aₙ = aₙ₋₁ * 3 (шаг прогрессии *3)
  18. aₙ = n²
  19. a₁ = 1, aₙ = aₙ₋₁ + n (разности между членами: +2, +3, +4, +5, +6…)
  20. aₙ = 7 - 2n (шаг прогрессии -2)
  21. Девятое простое число — 23.
  22. 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 = 20

Прокрутить вверх