Интерактивный веб-тренажёр для отработки навыков построения графиков функций, содержащих модуль (абсолютную величину).
📐 Построение графиков с модулем
Модуль (абсолютная величина) делает отрицательные значения положительными или отражает часть графика относительно осей.
▸ 1. Тип: |x + a| кнопка |x+a|
Формула: y = |x + a|, где a — число.
Алгоритм построения:
- Строим график y = x + a (прямая линия).
- Точка пересечения с осью X: x = -a.
- Всё, что ниже оси X (где y < 0), отражаем зеркально вверх.
Результат: График имеет форму уголка с вершиной в точке (-a; 0).
1) Прямая y = x — 2 пересекает ось X в x = 2.
2) Для x < 2 прямая идёт ниже оси — отражаем вверх.
3) Получаем уголок с вершиной (2; 0).
▸ 2. Тип: |x| + b кнопка |x|+b
Формула: y = |x| + b, где b — число.
Алгоритм построения:
- Строим базовый график y = |x| (уголок с вершиной в (0; 0)).
- Смещаем весь график вверх на b единиц (если b > 0) или вниз (если b < 0).
Особенность: Вершина уголка будет в точке (0; b).
1) Строим уголок y = |x|.
2) Смещаем его вниз на 3 → вершина (0; -3).
▸ 3. Тип: |x + a| + b кнопка |x+a|+b
Формула: y = |x + a| + b.
Алгоритм построения:
- Строим график y = |x + a| (уголок с вершиной в (-a; 0)).
- Смещаем его вертикально на b: вверх при b > 0, вниз при b < 0.
Результат: Уголок с вершиной в точке (-a; b).
1) Строим уголок y = |x + 1| (вершина в (-1; 0)).
2) Смещаем вниз на 2 → вершина (-1; -2).
▸ 4. Тип: k|x + b| кнопка k|x+b|
Формула: y = k·|x + b|, где k > 0.
Алгоритм построения:
- Строим график y = |x + b| (уголок с вершиной в (-b; 0)).
- Растягиваем (сжимаем) график по вертикали:
- Если k > 1 — график становится уже (выше).
- Если 0 < k < 1 — график становится шире (ниже).
1) Строим уголок y = |x — 1| (вершина (1; 0)).
2) Удваиваем высоту: вместо точек (0;1) и (2;1) будут (0;2) и (2;2).
▸ 5. Тип: |x + a| + |x + b| (сумма двух модулей) кнопка |x+a|+|x+b|
Формула: y = |x + a| + |x + b|, где a ≠ b.
Алгоритм (метод интервалов):
- Найти нули подмодульных выражений: x₁ = -a, x₂ = -b. Пусть для определённости x₁ < x₂.
- Разбить ось на три интервала: (–∞; x₁], [x₁; x₂], [x₂; +∞).
- На каждом интервале раскрыть модули с учётом знака:
- На (–∞; x₁]: оба выражения отрицательны → y = -(x+a) — (x+b) = -2x — (a+b)
- На [x₁; x₂]: первое положительно, второе отрицательно → y = (x+a) — (x+b) = a — b (константа!)
- На [x₂; +∞): оба положительны → y = (x+a)+(x+b) = 2x + (a+b)
- Построить каждую линейную функцию на своём интервале.
Важно: На среднем интервале получается горизонтальная линия на уровне |a-b|.
Нули: x = -2 и x = 1.
• x < -2: y = -2x -1 (прямая вниз)
• -2 ≤ x ≤ 1: y = 3 (горизонталь)
• x > 1: y = 2x+1 (прямая вверх)
▸ 6. Тип: |x + a| — |x + b| (разность двух модулей) кнопка |x+a|-|x+b|
Формула: y = |x + a| — |x + b|, где a ≠ b.
Алгоритм (метод интервалов):
- Найти нули: x₁ = -a, x₂ = -b (x₁ < x₂).
- Интервалы: (–∞; x₁], [x₁; x₂], [x₂; +∞).
- Раскрыть модули:
- На (–∞; x₁]: оба отрицательны → y = -(x+a) — (-(x+b)) = -(x+a) + (x+b) = b — a (константа!)
- На [x₁; x₂]: первое положительно, второе отрицательно → y = (x+a) — (-(x+b)) = (x+a)+(x+b) = 2x + (a+b)
- На [x₂; +∞): оба положительны → y = (x+a) — (x+b) = a — b (константа!)
- Построить.
Особенность: График имеет две горизонтальные линии на разных уровнях и наклонный участок между ними.
• x < -2: y = -3
• -2 ≤ x ≤ 1: y = 2x+1
• x > 1: y = 3
▸ 7. Тип: ||x + a| + b| (вложенный модуль) кнопка ||x+a|+b|
Формула: y = | |x + a| + b |.
Алгоритм (от внутреннего к внешнему):
- Строим внутренний модуль: y₁ = |x + a| (уголок с вершиной в (-a; 0)).
- Смещаем вертикально на b: y₂ = |x + a| + b.
- Применяем внешний модуль: отражаем вверх всё, что ниже оси X (где y₂ < 0).
Важно: Количество изломов может увеличиться до 4.
1) Внутренний: y = |x| (уголок).
2) Смещаем вниз на 2: y = |x| — 2 (вершина в (0; -2)).
3) Отражаем отрицательную часть вверх → получаем «впадину» с двумя изломами.
▸ Общие особенности
- Изломы (углы) — всегда в точках, где выражение под модулем равно нулю.
- Для двух модулей обязательно используйте метод интервалов.
- Проверка: подставьте тестовые точки из каждого интервала.
- Определить, где модули обращаются в ноль.
- Разбить ось на интервалы.
- Раскрыть модули на каждом интервале.
- Построить полученные функции.
- Проверить точки стыков.
📌 Тренируйтесь на тренажёре: выбирайте нужный тип и стройте графики от руки, затем сверяйтесь с красным пунктиром.