Преобразование многочленов

От /

Предлагаем разбор типовых примеров и заданий на преобразование многочленов с использованием формул сокращённого умножения (ФСУ).

Упрощение выражений (раскрытие скобок)

Задача: Представить выражение в виде многочлена стандартного вида.

Пример 1: (3x + 4y)²

  • Решение: Используем формулу квадрата суммы: (a + b)² = a² + 2ab + b²
    • a = 3x, b = 4y
    • (3x)² + 2 * (3x) * (4y) + (4y)² = 9x² + 24xy + 16y²

Пример 2: (2a² - 5b)³

  • Решение: Используем формулу куба разности: (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
    • a = 2a², b = 5b
    • (2a²)³ - 3 * (2a²)² * (5b) + 3 * (2a²) * (5b)² - (5b)³ = 8a⁶ - 3 * 4a⁴ * 5b + 3 * 2a² * 25b² - 125b³ = 8a⁶ - 60a⁴b + 150a²b³ - 125b³

Разложение на множители (факторизация)

Это обратная операция, самая важная и частая в заданиях.

Задача: Разложить выражение на множители.

Пример 3: 16m⁴ - 81n⁸

  • Решение: Видим разность квадратов: (4m²)² - (9n⁴)²
    • Используем формулу: a² - b² = (a - b)(a + b)
    • a = 4m², b = 9n⁴
    • (4m² - 9n⁴)(4m² + 9n⁴)
    • Замечаем, что первую скобку можно разложить дальше: (2m)² - (3n²)²
    • Окончательный ответ: (2m - 3n²)(2m + 3n²)(4m² + 9n⁴)

Пример 4: 27x⁶ + y³

  • Решение: Видим сумму кубов: (3x²)³ + (y)³
    • Используем формулу: a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)
    • a = 3x², b = y
    • (3x² + y)((3x²)² - (3x²)(y) + y²) = (3x² + y)(9x⁴ - 3x²y + y²)

Пример 5: a² - 10a + 25

  • Решение: Узнаём формулу квадрата разности: a² - 2*a*5 + 5²
    • Ответ: (a - 5)²

Вычисление числовых выражений

Задача: Вычислить рациональным способом.

Пример 6: Вычислить 99²

  • Решение: 99² = (100 - 1)² = 100² - 2*100*1 + 1² = 10000 - 200 + 1 = 9801

Пример 7: Вычислить 43² - 37²

  • Решение: Используем формулу разности квадратов.
    • 43² - 37² = (43 - 37)(43 + 37) = 6 * 80 = 480

Доказательство тождеств и делимости

Задача: Доказать, что выражение кратно какому-то числу.

Пример 8: Доказать, что (n + 5)² - (n - 3)² кратно 16 для любого натурального n.

  • Решение:
    1. Упростим выражение, используя ФСУ.
      (n + 5)² - (n - 3)² = (по формуле a² - b²)
      = ((n + 5) - (n - 3)) * ((n + 5) + (n - 3)) =
      = (n + 5 - n + 3) * (n + 5 + n - 3) =
      = (8) * (2n + 2) = 8 * 2(n + 1) = 16(n + 1)
    2. В результате получили 16(n + 1). Очевидно, что это произведение делится на 16 при любом целом n.
    • Что и требовалось доказать.

Комбинированные задания

Пример 9: Упростить выражение (x - 2)³ - (x - 3)(x² + 3x + 9)

  • Решение:
    1. Раскрываем первую часть по формуле куба разности:
      (x - 2)³ = x³ - 3*x²*2 + 3*x*4 - 8 = x³ - 6x² + 12x - 8
    2. Во второй части узнаём формулу разности кубов:
      (x - 3)(x² + 3x + 9) = x³ - 3³ = x³ - 27
    3. Подставляем результаты в исходное выражение:
      (x³ - 6x² + 12x - 8) - (x³ - 27) = x³ - 6x² + 12x - 8 - x³ + 27 = -6x² + 12x + 19
    • Ответ: -6x² + 12x + 19

Пример 10: Решить уравнение x² - 36 = 0

  • Решение: Вместо дискриминанта используем разность квадратов.
    • x² - 36 = 0
    • (x - 6)(x + 6) = 0
    • Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
      x - 6 = 0 => x = 6
      x + 6 = 0 => x = -6
    • Ответ: -6; 6

Алгоритм действий для успешного решения:

  1. Узнай формулу. Внимательно посмотри на выражение. Напоминает ли оно одну из ФСУ? Есть ли здесь квадраты, кубы, разность или сумма?
  2. Определи, «a» и «b». Что в твоём примере играет роль a и b? Часто это не просто переменная, а целое выражение (например, 2a² или 5b³).
  3. Действуй по формуле. Аккуратно подставь свои a и b в нужную формулу. Внимание на знаки и коэффициенты!
  4. Упрости результат. Приведи подобные слагаемые, если они есть.
  5. Проверь себя. Можно мысленно раскрыть скобки в полученном ответе и убедиться, что получилось исходное выражение.

Примеры: Преобразование многочленов

ЗаданиеОтветРешение и комментарии
1. Привести к стандартному виду: 3p⁴ – 5p³ + 2p⁴ – 4p³5p⁴ - 9p³Сгруппируем и сложим подобные члены: (3p⁴ + 2p⁴) + (-5p³ - 4p³) = 5p⁴ - 9p³ 2.
2. Привести к стандартному виду: 2a·a² – 3a·a + 4a²·a – 8a²2a³ - 3a² + 4a³ - 8a² = 6a³ - 11a²Упростим каждое произведение: 2a³ - 3a² + 4a³ - 8a². Затем сложим подобные: (2a³ + 4a³) + (-3a² - 8a²) = 6a³ - 11a² 2.
3. Определить степень многочлена: 3х⁵ – 5х⁷ + 8 + 4х7Наивысшая степень среди одночленов — 7 (у члена -5x⁷) 2.
4. Упростить: (6х² – 7х + 4) – (4х² – 4х + 18)2x² - 3x - 14Раскроем скобки: 6x² - 7x + 4 - 4x² + 4x - 18. Сложим подобные: (6x² - 4x²) + (-7x + 4x) + (4 - 18) = 2x² - 3x - 14 2.
5. Упростить: (3х + 9) + (–х² – 15х – 40)-x² - 12x - 31Раскроем скобки: 3x + 9 - x² - 15x - 40. Сложим подобные: -x² + (3x - 15x) + (9 - 40) = -x² - 12x - 31 2.
6. Упростить: (10а² – 6а + 5) – (–11а + а² + 6)9a² + 5a - 1Раскроем скобки: 10a² - 6a + 5 + 11a - a² - 6. Сложим подобные: (10a² - a²) + (-6a + 11a) + (5 - 6) = 9a² + 5a - 1 2.
7. Упростить: (14ав² – 17ав + 5а²в) + (20ав – 4а²в)14ab² + 3ab + a²bСложим подобные члены: 14ab² + (-17ab + 20ab) + (5a²b - 4a²b) = 14ab² + 3ab + a²b 2.
8. Выполнить умножение: 2х(х² + 8х – 3)2x³ + 16x² - 6xУмножим каждый член в скобках на 2x: 2x·x² + 2x·8x + 2x·(-3) = 2x³ + 16x² - 6x 2.
9. Выполнить умножение: –3а(а² + 2ав – 5в)-3a³ - 6a²b + 15abУмножим каждый член в скобках на -3a: -3a·a² + (-3a)·2ab + (-3a)·(-5b) = -3a³ - 6a²b + 15ab 2.
10. Разложить на множители: x² - 10x + 25(x - 5)²Это квадрат разности: x² - 2·x·5 + 5² = (x - 5)² 4.
11. Разложить на множители: 49c² – 25x²(7c - 5x)(7c + 5x)Это разность квадратов: (7c)² - (5x)² = (7c - 5x)(7c + 5x) 4.
12. Разложить на множители: 8(x - 1) + (x - 1)²(x - 1)(x + 7)Вынесем общий множитель (x - 1): (x - 1)[8 + (x - 1)] = (x - 1)(x + 7) 7.
13. Разложить на множители: xy - 6 + 3x - 2y(x - 2)(y + 3)Сгруппируем: (xy - 2y) + (3x - 6) = y(x - 2) + 3(x - 2) = (x - 2)(y + 3) 7.
14. Решить уравнение: x² + 7x + 12 = 0x = -3; x = -4Разложим на множители: (x + 3)(x + 4) = 0. Корни: x = -3, x = -4 7.
15. Решить уравнение: x² – 4x – 5 = 0x = -1; x = 5Разложим на множители: (x + 1)(x - 5) = 0. Корни: x = -1, x = 5 7.
16.Упростить: (4у - 3х)(3х + 4у)16y² - 9x²Это разность квадратов: (4y)² - (3x)² = 16y² - 9x² 1.
17. Упростить: (3x + a)²9x² + 6ax + a²Квадрат суммы: (3x)² + 2·3x·a + a² = 9x² + 6ax + a² 1.
18. Упростить: (6a² – 9c)²36a⁴ - 108a²c + 81c²Квадрат разности: (6a²)² - 2·6a²·9c + (9c)² = 36a⁴ - 108a²c + 81c² 1.
19. Вычислить: 106² - 6²11200По формуле разности квадратов: (106 - 6)(106 + 6) = 100 · 112 = 11200 4.
20. Вычислить: 71² - 61²1320Разность квадратов: (71 - 61)(71 + 61) = 10 · 132 = 1320 4.
21. Выделить полный квадрат: x² + 2x + 2(x + 1)² + 1x² + 2x + 1 + 1 = (x + 1)² + 1 3.
22. Выделить полный квадрат: 4x² + 16x + 19(2x + 4)² + 34x² + 16x + 16 + 3 = (2x + 4)² + 3 3.
23. Сократить дробь: (x² - 4x - 12) / (x² + xy - 6y - 6x)(x - 6) / (x - y)Разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель: x² - 4x - 12 = (x - 6)(x + 2). Знаменатель: (x² - 6x) + (xy - 6y) = x(x - 6) + y(x - 6) = (x - 6)(x + y). Дробь: [(x - 6)(x + 2)] / [(x - 6)(x + y)] = (x + 2)/(x + y) (при x ≠ 6). В задании, возможно, опечатка. 7.
24. Упростить: (5^(2n+3) · 5^(2n-1)) / (25^(2n+1))25Упростим числитель: 5^(2n+3+2n-1) = 5^(4n+2). Знаменатель: 25^(2n+1) = (5²)^(2n+1) = 5^(4n+2). Дробь: 5^(4n+2) / 5^(4n+2) = 1. В ответе, возможно, ошибка. 7.
25. Найти значение: 5a² - 5ax - 7a + 7x при a = 4, x = -3-36Разложим на множители: сгруппируем (5a² - 5ax) + (-7a + 7x) = 5a(a - x) - 7(a - x) = (a - x)(5a - 7). Подставим: (4 - (-3)) · (5·4 - 7) = 7 · (20 - 7) = 7 · 13 = 91. Не совпадает с ответом. Пересчитаем: 5*16 - 5*4*(-3) - 7*4 + 7*(-3) = 80 + 60 - 28 - 21 = 140 - 49 = 91. 7.

Задания для самостоятельной работы

1. Приведение многочлена к стандартному виду

Упростите выражение и запишите многочлен в стандартном виде.

  1. 7x + 3x² - 5x + x³ - 2x²
  2. 4a · 5b - 2a² + 3b · a - ab
  3. (3y² - 5y + 7) - (2y² - y - 4)

2. Умножение многочлена на одночлен

Выполните умножение.
4. 4x²(3x - x³ + 2)
5. -2a(5a² - 3ab + 4b²)
6. 0.5y(4y³ - 6y² + 10y)

3. Умножение многочлена на многочлен

Выполните умножение.
7. (x + 5)(x - 3)
8. (2a - b)(3a + 4b)
9. (y² + 2y - 1)(y - 4)

4. Формулы сокращённого умножения (ФСУ)

Раскройте скобки, используя ФСУ.
10. (c + 8)²
11. (4x - 7y)²
12. (0.2m + 5n)(0.2m - 5n)
13. (a³ + 1)(a³ - 1)

5. Разложение на множители

Разложите на множители.
14. 12x⁴y³ - 18x³y²
15. a² - 10a + 25
16. 49 - 9b²
17. x³ + 8 (используйте формулу суммы кубов)
18. 5x² - 20 (сначала вынесите общий множитель)

6. Комбинированные задания

Упростите выражение.
19. (3x - 2)² - (2x + 1)(2x - 1)
20. (a + 4)³ - a(a - 4)²

Ответы для самопроверки

x³ + x² + 2x
Решение: x³ + (3x² - 2x²) + (7x - 5x) = x³ + x² + 2x

-2a² + 22ab
Решение: 20ab - 2a² + 3ab - ab = -2a² + (20ab + 3ab - ab) = -2a² + 22ab

y² - 4y + 11
Решение: 3y² - 5y + 7 - 2y² + y + 4 = (3y² - 2y²) + (-5y + y) + (7 + 4) = y² - 4y + 11

12x³ - 4x⁵ + 8x²
Решение: 4x²·3x + 4x²·(-x³) + 4x²·2 = 12x³ - 4x⁵ + 8x²

-10a³ + 6a²b - 8ab²
Решение: -2a·5a² + (-2a)·(-3ab) + (-2a)·(4b²) = -10a³ + 6a²b - 8ab²

2y⁴ - 3y³ + 5y²
Решение: 0.5y·4y³ + 0.5y·(-6y²) + 0.5y·10y = 2y⁴ - 3y³ + 5y²

x² + 2x - 15
Решение: x·x + x·(-3) + 5·x + 5·(-3) = x² - 3x + 5x - 15 = x² + 2x - 15

6a² + 5ab - 4b²
Решение: 2a·3a + 2a·4b + (-b)·3a + (-b)·4b = 6a² + 8ab - 3ab - 4b² = 6a² + 5ab - 4b²

y³ - 2y² - 9y + 4
Решение: y²·y + y²·(-4) + 2y·y + 2y·(-4) + (-1)·y + (-1)·(-4) = y³ - 4y² + 2y² - 8y - y + 4 = y³ - 2y² - 9y + 4

c² + 16c + 64
Решение: По формуле квадрата суммы: c² + 2·c·8 + 8² = c² + 16c + 64

16x² - 56xy + 49y²
Решение: По формуле квадрата разности: (4x)² - 2·4x·7y + (7y)² = 16x² - 56xy + 49y²

0.04m² - 25n²
Решение: По формуле разности квадратов: (0.2m)² - (5n)² = 0.04m² - 25n²

a⁶ - 1
Решение: По формуле разности квадратов: (a³)² - 1² = a⁶ - 1

6x³y²(2xy - 3)
Решение: Вынесем общий множитель 6x³y²: 6x³y² · 2xy - 6x³y² · 3 = 6x³y²(2xy - 3)

(a - 5)²
Решение: Это квадрат разности: a² - 2·a·5 + 5² = (a - 5)²

(7 - 3b)(7 + 3b)
Решение: Это разность квадратов: 7² - (3b)² = (7 - 3b)(7 + 3b)

(x + 2)(x² - 2x + 4)
Решение: По формуле суммы кубов: x³ + 2³ = (x + 2)(x² - x·2 + 2²) = (x + 2)(x² - 2x + 4)

5(x - 2)(x + 2)
Решение: 1) Вынесем 5: 5(x² - 4). 2) Разложим разность квадратов: 5(x - 2)(x + 2)

5x² - 12x - 3
Решение: 1) (3x - 2)² = 9x² - 12x + 4. 2) (2x+1)(2x-1) = 4x² - 1. 3) (9x² - 12x + 4) - (4x² - 1) = 9x² - 12x + 4 - 4x² + 1 = 5x² - 12x + 5

a³ + 10a² + 48a + 64
Решение: 1) (a+4)³ = a³ + 12a² + 48a + 64. 2) a(a-4)² = a(a² - 8a + 16) = a³ - 8a² + 16a. 3) (a³ + 12a² + 48a + 64) - (a³ - 8a² + 16a) = a³ + 12a² + 48a + 64 - a³ + 8a² - 16a = 20a² + 32a + 64

ДОПОЛНИТЕЛЬНО

Метод группировки двух парСкачать
Прокрутить вверх