Приемы вычислений логарифмов

От /

Вычисление логарифмов — это важный навык в математике. Предлагаем подробный обзор основных приемов и методов.

Термин «логарифм»:

  • Изначально использовались для упрощения вычислений
  • От греческих слов: λόγος (logos) — отношение + ἀριθμός (arithmos) — число
  • Ввел шотландский математик Джон Непер в 1614 году

1. Вычисление по определению

Логарифм числа b по основанию a — это показатель степени c, в которую нужно возвести основание a, чтобы получить число b

\log_a b = c \quad \Leftrightarrow \quad a^c = b

Компоненты логарифма:

  • a — основание логарифма (a > 0, a ≠ 1)
  • b — логарифмируемое число (b > 0)
  • c — значение логарифма (может быть любым действительным числом)

Область определения логарифма

b > 0 (логарифмируемое число положительно)  — логарифм отрицательного числа не определен в действительных числах

a > 0 (основание положительно) — отрицательное основание приводит к комплексным числам

a ≠ 1 (основание не равно 1) — логарифм с основанием 1 не определен

Примеры

Пример 1.1

\log_2 8 = 3 \quad \text{т.к.} \quad 2^3 = 8

Пример 1.2

\log_3 \frac{1}{9} = -2 \quad \text{т.к.} \quad 3^{-2} = \frac{1}{9}

Пример 1.3

\log_7 1 = 0 \quad \text{т.к.} \quad 7^0 = 1

Самоконтроль

Задание 1.1

\log_2 64 = ?
Решение 
\log_2 64 = 6 \quad \text{т.к.} \quad 2^6 = 64

Задание 1.2

\log_7(\sqrt{7})  = ?
Решение 
\log_7(\sqrt{7}) =  \frac{1}{2}

Задание 1.3

\log_6 \frac{1}{216}  = ?
Решение 
\log_6 \frac{1}{216} = -3 \quad \text{т.к.} \quad 6^{-3} = \frac{1}{216}

2. Применение основных свойств логарифмов

Это основной инструмент для преобразования сложных логарифмических выражений в более простые.

Логарифм произведения:

\log_a (bc) = \log_a b + \log_a c

Пример:

 \log_6 4 + \log_6 9 = \log_6(4 \cdot 9) =  \log_6 36  = 2\\

Логарифм частного: 

\log_a \left(\frac{b}{c}\right) = \log_a b - \log_a c

Пример:

\log_3 12 - \log_3 4 =  \log_3\left(\frac{12}{4}\right) =\log_3 3 = 1

Логарифм степени:

\log_a (b^n) = n \cdot \log_a b

Примеры:

 \log_2 8 =  \log_2(2^3) = 3 \cdot \log_2 2 = 3 \cdot 1 = 3
\log_5(\sqrt{125}) = \log_5(125^{1/2}) = \frac{1}{2} \cdot \log_5 125 = \frac{1}{2} \cdot 3 =\frac{3}{2}
\log_a \left(\frac{1}{x}\right) = -\log_a x
\log_2 \left(\frac{1}{8}\right) = -\log_2 8 = -3

Примеры

Пример 2.1

2\log_3 6 - \log_3 4 = \log_3 36 - \log_3 4 = \log_3\left(\frac{36}{4}\right) = \log_3 9 = 2

Пример 2.2

 \log_6 12 - \log_6 3 + \log_6 9 = \log_6\left(\frac{12}{3}\right) + \log_6 9 = \log_6 4 + \log_6 9 =  \log_6 36 = 2

Пример 2.3

\frac{1}{2}\log_6 81+ 2\log_6(\sqrt{24}) = \log_6 9 + \log_6 24 = \log_6(9 \cdot 24) = \log_6 216 = 3

Пример 2.4

\log_3 \left(\frac{81}{27}\right) - \log_3 \left(\frac{1}{9}\right) = \log_3 3 - \log_3 3^{-2} = 1 - (-2) = 3

Пример 2.5

\log_2 \sqrt{32} + \log_2 \sqrt{2} = \log_2 32^{1/2} + \log_2 2^{1/2} = \frac{1}{2}\log_2 32 + \frac{1}{2}\log_2 2 = \frac{1}{2} \times 5 + \frac{1}{2} \times 1 = 3

Самоконтроль

Задание 2.1

\log_6(18) + \log_6(2) = ?
Решение 
\log_6(18) + \log_6(2) = \log_6(18 \times 2) = \log_6(36) = 2 \quad \text{(т.к. } 6^2 = 36\text{)}

Задание 2.2

\log_2(20) - \log_2(5) = ?
Решение 
\log_2(20) - \log_2(5) = \log_2\left(\frac{20}{5}\right) = \log_2(4) = 2

Задание 2.3

2\log_5(10) - \log_5(4) = ?
Решение 
2\log_5(10) - \log_5(4) = \log_5(10^2) - \log_5(4) = \log_5\left(\frac{100}{4}\right) = \log_5(25) = 2

Задание 2.4

2\log_4 8 - \frac{1}{2}\log_4 64 = ?
Решение 
2\log_4 8 - \frac{1}{2}\log_4 64 = \log_4 8^2 - \log_4 64^{1/2} = \log_4 64 - \log_4 8 = \log_4 \left(\frac{64}{8}\right) = \log_4 8 = \frac{3}{2}

Задание 2.5

\log_a (a^3 \cdot b^2) - 2\log_a b = ?
Решение 
\log_a (a^3 \cdot b^2) - 2\log_a b = \log_a a^3 + \log_a b^2 - 2\log_a b = 3 + 2\log_a b - 2\log_a b = 3

3. Вынесение показателя степени у основания логарифма

Формула

\log_{a^n} b = \frac{1}{n} \cdot \log_a b

Пример

\log_4 2 + \log_8 4 = \log_{2^2} 2 + \log_{2^3} 4= \frac{1}{2}\log_2 2 + \frac{1}{3}\log_2 4 =\frac{1}{2} + \frac{2}{3}=\frac{7}{6}

Общая формула

\log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} \cdot \log_a b

Примеры

Пример 3.1

\log_8 32 = \log_{2^3} 2^5 = \frac{5}{3}

Пример 3.2

\log_9 8 - \log_{27} 32 = \log_{3^2} 2^3 - \log_{3^3} 2^5 = \frac{3}{2}\log_3 2 - \frac{5}{3}\log_3 2 = -\frac{1}{6}\log_3 2

Пример 3.3

\frac{\log_{4} 25}{\log_{8} 125} = \frac{\log_{2^2} 5^2}{\log_{2^3} 5^3} = \frac{\frac{2}{2}\log_2 5}{\frac{3}{3}\log_2 5} = \frac{\log_2 5}{\log_2 5} = 1

Самоконтроль

Задание 3.1

\frac{\log_{81} 27}{\log_{27} 9} =  ?
Решение 
\frac{\log_{81} 27}{\log_{27} 9} = \frac{\log_{3^4} 3^3}{\log_{3^3} 3^2} = \frac{\frac{3}{4}\log_3 3}{\frac{2}{3}\log_3 3} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{8}

Задание 3.2

\frac{\log_{32} 8}{\log_{16} 4} = ?
Решение 
\frac{\log_{32} 8}{\log_{16} 4} = \frac{\log_{2^5} 2^3}{\log_{2^4} 2^2} = \frac{\frac{3}{5}\log_2 2}{\frac{2}{4}\log_2 2} = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{1}{2}} = \frac{3}{5} \cdot 2 = \frac{6}{5}

Задание 3.3

\frac{\log_9 27 + \log_4 8}{\log_{27} 9 + \log_8 4} =?
Решение 
\frac{\log_9 27 + \log_4 8}{\log_{27} 9 + \log_8 4} = \frac{\log_{3^2} 3^3 + \log_{2^2} 2^3}{\log_{3^3} 3^2 + \log_{2^3} 2^2} = \frac{\frac{3}{2} + \frac{3}{2}}{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}} = \frac{3}{\frac{4}{3}} = 3 \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{4}

Задание 3.4

\frac{\log_{25} 125 - \log_8 4}{\log_{125} 25 - \log_4 8} = ?
Решение 
\frac{\log_{25} 125 - \log_8 4}{\log_{125} 25 - \log_4 8} = \frac{\log_{5^2} 5^3 - \log_{2^3} 2^2}{\log_{5^3} 5^2 - \log_{2^2} 2^3} = \frac{\frac{3}{2} - \frac{2}{3}}{\frac{2}{3} - \frac{3}{2}} = \frac{\frac{9-4}{6}}{\frac{4-9}{6}} = \frac{\frac{5}{6}}{-\frac{5}{6}} = -1

Задание 3.5

\frac{\log_8 16 \cdot \log_4 2}{\log_2 32 \cdot \log_{16} 4} = ?
Решение 
\frac{\log_8 16 \cdot \log_4 2}{\log_2 32 \cdot \log_{16} 4} = \frac{\log_{2^3} 2^4 \cdot \log_{2^2} 2^1}{\log_2 2^5 \cdot \log_{2^4} 2^2} = \frac{\frac{4}{3}\log_2 2 \cdot \frac{1}{2}\log_2 2}{5\log_2 2 \cdot \frac{2}{4}\log_2 2} = \frac{\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2}}{5 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{5}{2}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5} = \frac{4}{15}

4. Свойство взаимно обратных логарифмов

Основная формула:

\log_a b \cdot \log_b a = 1

Примеры

Пример 4 .1

\log_2 8 \cdot \log_8 2  = 1

Пример 4 .2

\log_2 3 \cdot \log_9 4 = \log_2 3 \cdot \log_{3^2} 2^2 = \log_2 3 \cdot \frac{2}{2}\log_3 2 = \log_2 3 \cdot \log_3 2 = 1

Пример 4 .3

\log_{3} 2 \cdot \log_{4} 3 \cdot \log_{8} 4 = \log_3 2 \cdot \log_{2^2} 3 \cdot \log_{2^3} 2^2 = \log_3 2 \cdot \frac{1}{2}\log_2 3 \cdot \frac{2}{3}\log_2 2 = \frac{1}{3}

Эквивалентные записи:

\log_a b = \frac{1}{\log_b a}
\log_b a = \frac{1}{\log_a b}

Примеры

Пример 4 .4

\frac{1}{\log_9 3} = \log_3 9=2

Пример 4 .5

\frac{1}{\log_4 6} + \frac{1}{\log_9 6} = \log_6 4+ \log_6 9= \log_6 36=2

Самоконтроль

Задание 4.1

\log_{125} 5 = ?
Решение 
\log_{125} 5 = \frac{1}{\log_5 125}=\frac{1}{3}

Задание 4.2

\frac{1}{\log_9 3} + \frac{1}{\log_8 2} = ?
Решение 
\frac{1}{\log_9 3} + \frac{1}{\log_8 2} = \log_3 9 + \log_2 8 = 2 + 3 =5

Задание 4.3

\frac{1}{\log_2 8} + \frac{1}{\log_8 2} =?
Решение 
\frac{1}{\log_2 8} + \frac{1}{\log_8 2} = \frac{1}{3} + \log_2 8 = \frac{1}{3} + 3 = \frac{10}{3}

Задание 4.4

\log_4 9 \cdot \log_9 4 = ?
Решение 
\log_4 9 \cdot \log_9 4 = 1

Задание 4.5

\frac{\log_a b}{\log_c b} = ?
Решение 
\frac{\log_a b}{\log_c b} = \log_a b \cdot \log_b c = \log_a c

5. Свойство «цепочки» логарифмов

«Цепное правило» или «Цепочка логарифмов»

Формула:

\log_a b \cdot \log_b c \cdot \log_c d \cdot \ldots \cdot \log_y z = \log_a z

Примеры

\log_2 3 \cdot \log_3 4 = \log_2 4 = 2
\log_3 5 \cdot \log_5 7 \cdot \log_7 9 = \log_3 9 = 2
\log_2 3 \cdot \log_9 8 = \log_2 3 \cdot \log_{3^2} 2^3 = \log_2 3 \cdot \frac{3}{2}\log_3 2 = \frac{3}{2}\log_2 3 \cdot \log_3 2 = \frac{3}{2}

Частный случай (когда цепочка замкнута):

\log_a b \cdot \log_b c \cdot \log_c a = 1

Пример

\log_2 3 \cdot \log_3 4 \cdot \log_4 2 = \log_2 2 = 1

Самоконтроль

Задание 5.1

\frac{\log_2 8 }{\log_2 3 \cdot \log_3 2} = ?
Решение 
\frac{\log_2 8 }{\log_2 3 \cdot \log_3 2} = \frac{\log_2 2^3 }{1} = 3

Задание 5.2

\frac{\log_2 27 \cdot \log_3 16}{\log_2 3 \cdot \log_3 4} =?
Решение 
\frac{\log_2 27 \cdot \log_3 16}{\log_2 3 \cdot \log_3 4} = \frac{\log_2 3^3 \cdot \log_3 2^4}{\log_2 4} = \frac{3\log_2 3 \cdot 4\log_3 2}{2} = \frac{12}{2} = 6

Задание 5.3

\log_2 5 \cdot \log_5 3 \cdot \log_3 8 - \log_2 4 =?
Решение 
\log_2 5 \cdot \log_5 3 \cdot \log_3 8 - \log_2 4 = \log_2 8 - 2 = 3 - 2 = 1

Задание 5.4

\frac{\log_2 3 \cdot \log_3 4 \cdot \log_4 5}{\log_2 5} = ?
Решение 
\frac{\log_2 3 \cdot \log_3 4 \cdot \log_4 5}{\log_2 5} = \frac{\log_2 5}{\log_2 5} = 1

Задание 5.5

\log_3 (2x) \cdot \log_{2x} 27 = ?
Решение 
\log_3 (2x) \cdot \log_{2x} 27 = \log_3 27 =  3

6. Переход к новому основанию

Основная формула:

\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}

Позволяет перейти от логарифма с основанием a к логарифму с любым другим основанием c.

Пример:

\frac{\log_2 9}{\log_2 3} = \log_3 9=2

Обратный логарифм:

\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} = \frac{1}{\frac{\log_c a}{\log_c b}} = \frac{1}{\log_b a}

Примеры

\log_8 2= \frac{1}{\log_2 8} = \frac{1}{3} 
\frac{\log_2 27}{\log_2 9} = \log_9 27 = \frac{\log_3 27}{\log_3 9} = \frac{3}{2}

Самоконтроль

Задание 6.1

\log_{81} 27 =?
Решение 
\log_{81} 27 = \frac{\log_3 27}{\log_3 81} = \frac{\log_3 3^3}{\log_3 3^4} = \frac{3}{4}

Задание 6.2

\log_{16} 64 =?
Решение 
\log_{16} 64 = \frac{\log_2 64}{\log_2 16} = \frac{\log_2 2^6}{\log_2 2^4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}

Задание 6.3

\log_8 32 = ?
Решение 
\log_8 32 = \frac{\log_2 32}{\log_2 8} = \frac{\log_2 2^5}{\log_2 2^3} = \frac{5}{3}

7. Основное логарифмическое тождество

Формула

a^{\log_a b} = b

Пояснение: Если возвести основание a в степень, равную логарифму числа b по основанию a, получится само число b

Условия: a > 0, a ≠ 1, b > 0

Примеры

Обратите внимание: основание степени и основание логарифма должны совпадать.

Пример 7.1

5^{\log_5 7} = 7

Пример 7.2

10^{\lg 3} = 3

Пример 7.3

e^{\ln 5} = 5

Полезное свойство: 

(a^m)^{\log_a b} = a^{m \cdot \log_a b} = b^m

Пример 7.4

4^{\log_2 3} = (2^2)^{\log_2 3} = 2^{2\log_2 3} = 3^2=9

Пример 7.5

9^{\log_3(\sqrt{24}) } = (3^2)^{\log_3(\sqrt{24}) } = 3^{2\log_3(\sqrt{24}) }= 3^{\log_3 24 } = 24

Упрощение выражений:

\frac{5^{\log_5 3} \cdot 2^{\log_2 7}}{10^{\lg 2}} = \frac{3 \cdot 7}{2} = \frac{21}{2}
19^{\frac{1}{\lg19} \cdot {\lg37}} =19^{\log_{19} 37} = 37

Самоконтроль

Задание 7.1

3^{\log_3 8} - 4^{\log_4 5} + 10^{\lg 2} = ?
Решение 
3^{\log_3 8} - 4^{\log_4 5} + 10^{\lg 2} = 8 - 5 + 2 = 5

Задание 7.2

5^{\log_5 3} \cdot 2^{\log_2 7} = ?
Решение 
5^{\log_5 3} \cdot 2^{\log_2 7} = 3 \cdot 7 = 21

Задание 7.3

\frac{10^{\lg 4} \cdot e^{\ln 5}}{2^{\log_2 3}} = ?
Решение 
\frac{10^{\lg 4} \cdot e^{\ln 5}}{2^{\log_2 3}} = \frac{4 \cdot 5}{3} = \frac{20}{3}

Задание 7.4

\frac{7^{\log_7 9} \cdot 2^{\log_2 4}}{6^{\log_6 3}} =
Решение 
\frac{7^{\log_7 9} \cdot 2^{\log_2 4}}{6^{\log_6 3}} = \frac{9 \cdot 4}{3} = \frac{36}{3} = 12

Задание 7.5

\sqrt{25^{\log_5 4}} \cdot 8^{\log_2 3}=?
Решение 
\sqrt{25^{\log_5 4}} \cdot 8^{\log_2 3} = (5^2)^{\frac{1}{2}\log_5 4} \cdot (2^3)^{\log_2 3} = 5^{\log_5 4} \cdot 2^{3\log_2 3} = 4 \cdot 3^3 = 4 \cdot 27 = 108

Тест: Вычисление логарифмов

Вопрос 1 из 10

Дополнительно

Источник: ссылка

Прокрутить вверх