Арифметическая прогрессия

От /

Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом. Это постоянное число называется разностью прогрессии и обозначается буквой d.

Простая аналогия: Если вы каждый день откладываете одинаковую сумму денег, то ваши накопления образуют арифметическую прогрессию.

Арифметическая прогрессия
1

Арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия — числовая последовательность \(\{a_n\}\), в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом:

\(a_n = a_{n-1} + d \quad \text{для всех } n > 1\)

где \(d\) — разность прогрессии.

Примеры:

2, 5, 8, 11, 14, ... — возрастающая прогрессия (\(d = 3\))
10, 7, 4, 1, -2, ... — убывающая прогрессия (\(d = -3\))
Если \(d > 0\) — прогрессия возрастающая, если \(d < 0\) — убывающая.
2

Основные формулы

Формула \(n\)-го члена:

\(a_n = a_1 + (n-1)d\)

где: \(a_1\) — первый член, \(d\) — разность, \(n\) — номер члена.

Формулы суммы:

\(S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}\)
\(S_n = \frac{[2a_1 + (n-1)d] \cdot n}{2}\)
Формулу суммы можно запомнить как: "Первый плюс последний, пополам, и на количество".
3

Характеристические свойства

Свойство 1: Каждый член равен среднему арифметическому соседних

\(a_k = \frac{a_{k-1} + a_{k+1}}{2} \quad \text{для } 1 < k < n\)

Пример: Для прогрессии 4, 7, 10, 13, 16:

4
7
10
13
16
7 = (4 + 10)/2 = 7 ✓
10 = (7 + 13)/2 = 10 ✓

Свойство 2: Сумма равноотстоящих членов постоянна

\(a_1 + a_n = a_2 + a_{n-1} = a_3 + a_{n-2} = \dots\)
4

Приём 1: Быстрое нахождение разности

① Метод "двух членов"

Если известны два члена \(a_m\) и \(a_k\), то разность:

\(d = \frac{a_m - a_k}{m - k} \quad (m \ne k)\)

Пример: Дано: \(a_3 = 12\), \(a_7 = 28\)

Находим разность:

\(d = \frac{a_7 - a_3}{7 - 3} = \frac{28 - 12}{4} = \frac{16}{4} = 4\)

Теперь находим первый член:

\(a_3 = a_1 + 2d = 12\)
\(a_1 + 2 \times 4 = 12\)
\(a_1 + 8 = 12\)
\(a_1 = 4\)
Этот приём экономит время — не нужно решать систему уравнений!
5

Приём 2: Метод "крайних членов"

② Вывод формулы суммы

Запишем сумму двумя способами:

\(S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n\)
\(S_n = a_n + a_{n-1} + \dots + a_1\)

Складываем:

\(2S_n = (a_1 + a_n) + (a_2 + a_{n-1}) + \dots + (a_n + a_1)\)
\(2S_n = n(a_1 + a_n)\)
\(S_n = \frac{(a_1 + a_n)n}{2}\)

Пример применения: Сумма чисел от 1 до 100

\(S_{100} = \frac{(1 + 100) \times 100}{2} = \frac{101 \times 100}{2} = 5050\)

Это знаменитая формула Гаусса!

Понимание вывода формулы помогает лучше её запомнить и применять.
6

Приём 3: Вставка чисел

③ Алгоритм вставки чисел

Между числами \(a\) и \(b\) нужно вставить \(k\) чисел так, чтобы все \(k+2\) чисел образовали арифметическую прогрессию.

\(a_1 = a, \quad a_{k+2} = b\)
\(b = a + (k+1)d \quad \Rightarrow \quad d = \frac{b - a}{k + 1}\)

Пример: Между 4 и 28 вставить 3 числа

\(k = 3, \quad a = 4, \quad b = 28\)
\(d = \frac{28 - 4}{3 + 1} = \frac{24}{4} = 6\)

Получаем прогрессию:

4
10
16
22
28
Количество вставляемых чисел = количеству промежутков минус 1.
7

Приём 4: Свойство среднего члена

④ Средний член и сумма прогрессии

Для прогрессии с нечётным числом членов средний член равен среднему арифметическому всей прогрессии:

\(a_{\frac{n+1}{2}} = \frac{S_n}{n}\)

где \(n\) — нечётное число членов.

Пример: Рассмотрим прогрессию: 3, 7, 11, 15, 19

3
7
11
15
19
\(n = 5\) (нечётное)
\(S_5 = 3 + 7 + 11 + 15 + 19 = 55\)
Средний член \(a_3 = 11\)
\(S_5/5 = 55/5 = 11 = a_3\) ✓
Для трёх чисел, образующих прогрессию: среднее число = сумма/3
8

Приём 5: Работа со средними

⑤ Формула для задач на среднее арифметическое

Если среднее \(m\) чисел равно \(A\), а среднее \(m+1\) чисел равно \(B\), то \((m+1)\)-е число:

\(x = (m+1)B - mA\)

Задача: Среднее пяти чисел равно 6. Среднее шести чисел равно 7. Найти шестое число.

Решение:

\(m = 5, \quad A = 6, \quad B = 7\)
\(x = (5+1) \times 7 - 5 \times 6 = 6 \times 7 - 30 = 42 - 30 = 12\)
Ответ: 12
9

Практикум

Задача 1: В арифметической прогрессии \(a_5 = 24\), \(a_{10} = 44\). Найдите \(a_1\) и \(d\).

\(d = \frac{a_{10} - a_5}{10 - 5} = \frac{44 - 24}{5} = \frac{20}{5} = 4\)
\(a_5 = a_1 + 4d = 24\)
\(a_1 + 4 \times 4 = 24\)
\(a_1 + 16 = 24\)
\(a_1 = 8\)
Ответ: \(a_1 = 8\), \(d = 4\)

Задача 2: Между числами 6 и 54 вставьте 5 чисел так, чтобы все 7 чисел образовали арифметическую прогрессию.

\(k = 5, \quad a = 6, \quad b = 54\)
\(d = \frac{54 - 6}{5 + 1} = \frac{48}{6} = 8\)
Прогрессия: \(6, 14, 22, 30, 38, 46, 54\)
Ответ: 14, 22, 30, 38, 46

Задача 3: Сумма трёх чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 24. Найдите среднее число.

\(n = 3\) (нечётное)
Средний член \(a_2 = \frac{S_3}{3} = \frac{24}{3} = 8\)
Ответ: 8

Задача 4: В арифметической прогрессии сумма первых 10 членов равна 200, а сумма следующих 10 членов равна 400. Найдите первый член и разность прогрессии.

\(S_{10} = 200\)
\(S_{20} - S_{10} = 400\) ⇒ \(S_{20} = 600\)

Формула суммы: \(S_n = \frac{[2a_1 + (n-1)d] \cdot n}{2}\)

Для \(n=10\): \(\frac{[2a_1 + 9d] \cdot 10}{2} = 200\)
\(5(2a_1 + 9d) = 200\)
\(2a_1 + 9d = 40\) ... (1)

Для \(n=20\): \(\frac{[2a_1 + 19d] \cdot 20}{2} = 600\)
\(10(2a_1 + 19d) = 600\)
\(2a_1 + 19d = 60\) ... (2)

Вычитаем (1) из (2):
\((2a_1 + 19d) - (2a_1 + 9d) = 60 - 40\)
\(10d = 20\) ⇒ \(d = 2\)

Из (1): \(2a_1 + 9 \times 2 = 40\)
\(2a_1 + 18 = 40\)
\(2a_1 = 22\) ⇒ \(a_1 = 11\)
Ответ: \(a_1 = 11\), \(d = 2\)

Арифметическая прогрессия: полный практикум
Всего задач: 40

Интерактивный калькулятор прогрессии

Настройка прогрессии

Быстрые вычисления

Таблица прогрессии

№ Член aₙ Сумма Sₙ Прирост
Подсказка: Наведите курсор на строку таблицы, чтобы выделить её. Щелкните по числу, чтобы скопировать его.

Дополнительно

Источник: ссылка

Источник: ссылка

Прокрутить вверх