Производные и первообразные

От /

Таблица представляет собой компактный справочник по математическому анализу, содержащий 15 наиболее важных элементарных функций с их производными и первообразными.

Таблица производных и первообразных

Производная функции

Производная функции — это предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю.

f'(x) = limΔx→0 (f(x + Δx) — f(x)) / Δx

Геометрический смысл: производная равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в точке x.

Физический смысл: производная характеризует скорость изменения функции в точке.

Первообразная функции

Первообразная (неопределённый интеграл) функции f(x) — это такая функция F(x), производная которой равна f(x).

F'(x) = f(x) ⇔ ∫f(x)dx = F(x) + C

где C — произвольная постоянная интегрирования.

Геометрический смысл: первообразная представляет собой семейство кривых, отличающихся постоянным смещением вдоль оси Y.

Физический смысл: если f(t) — скорость движения, то F(t) — пройденный путь.

Основные свойства производных и первообразных

Линейность производной
(af(x) + bg(x))’ = af'(x) + bg'(x)
Линейность интеграла
∫(af(x) + bg(x))dx = a∫f(x)dx + b∫g(x)dx
Производная произведения
(f(x)·g(x))’ = f'(x)·g(x) + f(x)·g'(x)
Производная частного
(f(x)/g(x))’ = (f'(x)·g(x) — f(x)·g'(x)) / g²(x)
Интегрирование по частям
∫u dv = uv — ∫v du
Замена переменной
∫f(g(x))·g'(x)dx = ∫f(u)du, где u = g(x)
Производная f'(x) Функция f(x) Первообразная F(x) + C
0 c (константа) c·x
n·xn-1 xn xn+1/(n+1), n ≠ -1
ex ex ex
ax·ln(a) ax ax/ln(a)
1/x ln(x) x·ln(x) — x
1/(x·ln(a)) loga(x) x·logₐ(x) – x / ln(a)
cos(x) sin(x) -cos(x)
-sin(x) cos(x) sin(x)
1/cos2(x) tg(x) -ln|cos(x)|
-1/sin2(x) ctg(x) ln|sin(x)|
1/√(1-x2) arcsin(x) x·arcsin(x) + √(1-x2)
-1/√(1-x2) arccos(x) x·arccos(x) — √(1-x2)
1/(1+x2) arctg(x) x·arctg(x) — ½·ln(1+x2)
-1/(1+x2) arcctg(x) x·arcctg(x) + ½·ln(1+x2)
1/(2√x) √x (2/3)·x3/2

* Все формулы справедливы в области определения функции и её производной/первообразной.

Особенности нахождения производной сложной функции

Производная сложной функции находится по правилу цепочки:

Если y = f(u) и u = g(x), то y'(x) = f'(u)·g'(x) = f'(g(x))·g'(x)

Алгоритм нахождения:

  1. Определить внешнюю и внутреннюю функции
  2. Найти производную внешней функции, оставляя внутреннюю неизменной
  3. Умножить на производную внутренней функции

Пример: Найти производную y = sin(x²)

  • Внешняя функция: f(u) = sin(u)
  • Внутренняя функция: u = g(x) = x²
  • f'(u) = cos(u) = cos(x²)
  • g'(x) = 2x
  • y’ = cos(x²)·2x = 2x·cos(x²)

Интерактивная карточная игра для изучения и тренировки нахождения производных и первообразных функций. Игрок учится, проверяя свои знания в формате самооценки .

Основные действия:

Выберите режим:

  • Производные — тренировка нахождения производных
  • Первообразные — тренировка нахождения первообразных

Выберите уровень сложности:

  • Уровень 1: Табличные производные/первообразные
  • Уровень 2: Линейные комбинации
  • Уровень 3: Произведение и частное
  • Уровень 4: Сложные композиции

Работа с карточкой:

  • Нажмите на карту или Пробел — перевернуть карточку
  • Показать ответ (👁️) или Пробел — увидеть правильный ответ
  • Знаю (✓) или 1 — если знаете ответ
  • Не знаю (✗) или 2 — если не знаете ответ
  • Новая игра (🔄) — начать новую игру

📈 Аналитика и отслеживание прогресса

Таблица ошибок (доступна по кнопке «Показать»):

  • Функция — какая функция вызвала затруднения
  • Режим — производная или первообразная
  • Уровень — на каком уровне сложности была ошибка

Производные и Первообразные - Карточная игра

Производные и Первообразные

1 Карточка
0 Знаю
0 Не знаю
∫
∑
∞
∂
Δ
Производная
Найдите:
f(x) = x^2
Ответ: 2x
💡 Нажми на карту, чтобы перевернуть • Пробел: показать ответ • 1: ✓ Знаю • 2: ✗ Не знаю
📊 Аналитика
Повторить
Функция Режим Уровень

Игра завершена! 🎉

Знаю: 0/10

Дополнительно

Источник: ссылка

Источник: ссылка

Источник: ссылка

Источник: ссылка

Источник: ссылка

Прокрутить вверх