Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Теоретическая справка

Конфигурация

В прямоугольном треугольнике \(ABC\) (\(\angle C = 90^\circ\)) проведена высота \(CH\) к гипотенузе \(AB\).

Обозначения:

\(AB = c\) — гипотенуза
\(AC = b,\; BC = a\) — катеты
\(CH = h\) — высота к гипотенузе
\(AH = x,\; HB = y\) — проекции катетов на гипотенузу

Подобие треугольников

При таком построении получаем три прямоугольных треугольника, которые подобны:

\(\triangle ABC \sim \triangle ACH \sim \triangle CBH\)

Из этого подобия следуют все пропорциональные соотношения.

Основные формулы

1. \(h^2 = x \cdot y\) (квадрат высоты равен произведению проекций)
2. \(b^2 = c \cdot x\) (квадрат катета равен произведению гипотенузы на его проекцию)
3. \(a^2 = c \cdot y\)
4. \(a \cdot b = c \cdot h\) (из двух формул площади)
5. \(c = x + y\) (гипотенуза равна сумме проекций)
6. \(\frac{1}{h^2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}\) (формула высоты через катеты)

Теорема Пифагора: \(a^2 + b^2 = c^2\)

Визуализация

Измените параметры треугольника с помощью ползунков и наблюдайте, как меняются пропорциональные отрезки.

Основная формула: \(h^2 = x \cdot y\)
Проверка: \(h^2 =\) 0, \(x \cdot y =\) 0

Проверка соотношений:

\(h^2 = x \cdot y\):	—
\(b^2 = c \cdot x\):	—
\(a^2 = c \cdot y\):	—
\(a \cdot b = c \cdot h\):	—

Управление параметрами

Катет \(a\) (BC): 6.0 см

Катет \(b\) (AC): 8.0 см

Проекция \(x\) (AH): 6.4 см

Проекция \(y\) (HB): 3.6 см

Высота \(h\) (CH): 4.8 см

Гипотенуза \(c\) (AB): 10.0 см

Практические задачи

Задача 1: Нахождение высоты

В прямоугольном треугольнике проекции катетов на гипотенузу равны 4 см и 9 см. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

Шаг 1: Записываем известные данные \(x = 4\) см, \(y = 9\) см

Шаг 2: Применяем формулу для высоты \(h^2 = x \cdot y = 4 \cdot 9 = 36\)

Шаг 3: Находим высоту \(h = \sqrt{36} = 6\) см

Ответ: Высота треугольника равна 6 см.

Задача 2: Нахождение проекций

Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна 6 см, а гипотенуза равна 13 см. Найдите проекции катетов на гипотенузу.

Шаг 1: Записываем известные данные \(h = 6\) см, \(c = 13\) см

Шаг 2: Составляем систему уравнений \(x + y = 13\) (так как \(c = x + y\))
\(x \cdot y = 36\) (так как \(h^2 = 36\))

Шаг 3: Решаем систему Подставляем \(y = 13 — x\) во второе уравнение:
\(x(13 — x) = 36\)
\(13x — x^2 = 36\)
\(x^2 — 13x + 36 = 0\)

Шаг 4: Решаем квадратное уравнение \(D = 169 — 144 = 25\), \(\sqrt{D} = 5\)
\(x_1 = \frac{13 + 5}{2} = 9\), \(x_2 = \frac{13 — 5}{2} = 4\)
Соответственно, \(y_1 = 4\), \(y_2 = 9\)

Ответ: Проекции катетов равны 4 см и 9 см.

Задача 3: Нахождение высоты

В прямоугольном треугольнике катеты равны 14 и 48. Найдите высоту, опущенную на гипотенузу.

Основное решение:

1. Находим гипотенузу:\( c = \sqrt{14^2 + 48^2} = \sqrt{2500} = 50\)

2. Используем равенство площадей:\( \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 48 = \frac{1}{2} \cdot 50 \cdot h\)

3. Выражаем высоту: \( h = \frac{14 \cdot 48}{50} = 13,44\)

Альтернативное решение через катеты:

Используем формулу: \( h = \frac{a \cdot b}{\sqrt{a^2 + b^2}}\)

Подставляем значения:\( h = \frac{14 \cdot 48}{\sqrt{14^2 + 48^2}} = \frac{672}{50} = 13,44\)

Ответ: Высота равна 13,44

Задача 4: Нахождение катета

В прямоугольном треугольнике высота, проведённая к гипотенузе, равна 12 см, а проекция одного из катетов равна 9 см. Найдите этот катет.

Шаг 1: Записываем известные данные \(h = 12\) см, \(x = 9\) см (проекция искомого катета)

Шаг 2: Находим вторую проекцию Из формулы \(h^2 = x \cdot y\) находим \(y\):
\(144 = 9 \cdot y \Rightarrow y = \frac{144}{9} = 16\) см

Шаг 3: Находим гипотенузу \(c = x + y = 9 + 16 = 25\) см

Шаг 4: Находим катет Катет, проекция которого равна \(x\), вычисляется по формуле:
\(b^2 = c \cdot x = 25 \cdot 9 = 225\)
\(b = \sqrt{225} = 15\) см

Ответ: Искомый катет равен 15 см.

ТЕМЫ

ЕГЭ ПРОФИ