1. Обозначения
\(x\) — неизвестное (угол в радианах)
\(a\) — заданное число (\(|a| \leq 1\) для \(\sin x\), \(\cos x\))
\(n \in \mathbb{Z}\) — целое число (номер периода)
2. Основные формулы
Уравнение: \(\sin x = a\)
Решение: \(x = (-1)^n \arcsin a + \pi n,\quad n \in \mathbb{Z}\)
Уравнение: \(\cos x = a\)
Решение: \(x = \pm \arccos a + 2\pi n,\quad n \in \mathbb{Z}\)
Уравнение: \(\tan x = a\)
Решение: \(x = \arctan a + \pi n,\quad n \in \mathbb{Z}\)
Уравнение: \(\cot x = a\)
Решение: \(x = \operatorname{arccot} a + \pi n,\quad n \in \mathbb{Z}\)
3. Почему такие формулы?
Формулы решений основаны на двух ключевых свойствах тригонометрических функций:
- Периодичность: значения повторяются через фиксированный угол (период):
\(\sin(x + 2\pi) = \sin x\), \(\cos(x + 2\pi) = \cos x\), \(\tan(x + \pi) = \tan x\). - Симметрия на единичной окружности: для одного значения \(a\) часто существует две точки на окружности с одинаковой координатой:
- Для \(\cos x = a\) — симметрия относительно оси \(x\) → углы \(\pm \arccos a\).
- Для \(\sin x = a\) — симметрия относительно оси \(y = \frac{\pi}{2}\) → углы \(\arcsin a\) и \(\pi — \arcsin a\). Это компактно записывается как \((-1)^n \arcsin a + \pi n\).
Обратные функции (\(\arcsin, \arccos, \arctan\)) дают главное значение угла в стандартном промежутке. Все остальные решения получаются добавлением периодов и учётом симметрии.
4. Особые случаи
| Уравнение | Геометрический смысл | Решение |
|---|---|---|
| \(\sin x = 0\) | Точка на оси \(X\) | \(x = \pi n\) |
| \(\sin x = 1\) | Верхняя точка \((0,1)\) | \(x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi n\) |
| \(\sin x = -1\) | Нижняя точка \((0,-1)\) | \(x = -\dfrac{\pi}{2} + 2\pi n\) |
| \(\cos x = 0\) | Точка на оси \(Y\) | \(x = \dfrac{\pi}{2} + \pi n\) |
| \(\cos x = 1\) | Правая точка \((1,0)\) | \(x = 2\pi n\) |
| \(\cos x = -1\) | Левая точка \((-1,0)\) | \(x = \pi + 2\pi n\) |
5. Общий алгоритм решения
- Определите тип уравнения: \(\sin x = a\), \(\cos x = a\), \(\tan x = a\) или \(\cot x = a\).
- Проверьте область допустимых значений (ОДЗ):
- Для \(\sin x = a\) и \(\cos x = a\): если \(|a| > 1\), решений нет.
- Для \(\tan x = a\) и \(\cot x = a\): решений нет только при делении на ноль (но здесь \(a\) — любое число).
- Найдите главное значение с помощью обратной функции:
- \(\arcsin a \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\)
- \(\arccos a \in [0, \pi]\)
- \(\arctan a \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})\)
- Запишите общее решение, учитывая:
- Период: \(2\pi\) для \(\sin, \cos\); \(\pi\) для \(\tan, \cot\).
- Симметрию: две точки для \(\sin\) и \(\cos\) → два семейства решений (или компактная форма).
- При необходимости — упростите или выделите особые случаи из таблицы выше.
6. Примеры с пошаговым решением
Задача: Решить \(\sin x = \dfrac{1}{2}\)
Решение:
- \(|a| = 0.5 \leq 1\) → решения есть.
- \(\arcsin\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{\pi}{6}\).
- Общее решение: \(x = (-1)^n \cdot \dfrac{\pi}{6} + \pi n,\ n \in \mathbb{Z}\).
Задача: Решить \(\cos x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
Решение:
- \(|a| = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707 \leq 1\) → решения есть.
- \(\arccos\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = \dfrac{3\pi}{4}\).
- Общее решение: \(x = \pm \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z}\).
Задача: Решить \(\tan x = \sqrt{3}\)
Решение:
- \(\tan x\) определён для любого \(a\).
- \(\arctan(\sqrt{3}) = \dfrac{\pi}{3}\).
- Общее решение: \(x = \dfrac{\pi}{3} + \pi n,\ n \in \mathbb{Z}\).