В треугольнике АВС угол С равен 90°, ВС= 3. Найдите АС
△
Прямоугольный треугольник ABC
∠
∠C = 90°
↔️
Катет BC = 3
cos
cos A = \(\frac{2\sqrt{5}}{5}\)
🎯
Найти: AC
Теория
Определение косинуса в прямоугольном треугольнике
\[ \cos A = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AC}{AB} \]
Теорема Пифагора
\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]
Решение
1
Обозначим AC = x, AB = y. Из определения косинуса:
\[ \cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{x}{y} = \frac{2\sqrt{5}}{5} \]
2
Выразим y через x:
\[ \frac{x}{y} = \frac{2\sqrt{5}}{5} \quad\Rightarrow\quad y = \frac{5x}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}x}{2} \]
3
По теореме Пифагора:
\[ y^2 = x^2 + BC^2 \]
\[ \left(\frac{\sqrt{5}x}{2}\right)^2 = x^2 + 3^2 \]
\[ \frac{5x^2}{4} = x^2 + 9 \]
4
Умножаем на 4 и решаем уравнение:
\[ 5x^2 = 4x^2 + 36 \]
\[ x^2 = 36 \]
\[ x = 6 \quad (\text{x > 0 как длина}) \]
Катет AC равен:
6
AC = 6