1. Определения и основные понятия
Обозначения: \( \angle C = 90^\circ \), стороны: \( a = BC \), \( b = AC \), \( c = AB \)
- Прямой угол всегда равен 90°
- Сумма острых углов: \( \angle A + \angle B = 90^\circ \)
- Гипотенуза всегда длиннее каждого катета
- Против большего угла лежит большая сторона
2. Теорема Пифагора и её следствия
\[c^2 = a^2 + b^2\]
Следствия теоремы Пифагора:
\[a = \sqrt{c^2 — b^2}, \quad b = \sqrt{c^2 — a^2}, \quad c = \sqrt{a^2 + b^2}\]
Обратная теорема:
\[ \text{Если } a^2 + b^2 = c^2 \text{, то } \angle C = 90^\circ \]
3. Тригонометрические соотношения
| Функция | Определение | Для ∠A | Для ∠B |
|---|---|---|---|
| Синус | противолежащий / гипотенуза | \(\sin A = \dfrac{a}{c}\) | \(\sin B = \dfrac{b}{c}\) |
| Косинус | прилежащий / гипотенуза | \(\cos A = \dfrac{b}{c}\) | \(\cos B = \dfrac{a}{c}\) |
| Тангенс | противолежащий / прилежащий | \(\tan A = \dfrac{a}{b}\) | \(\tan B = \dfrac{b}{a}\) |
| Котангенс | прилежащий / противолежащий | \(\cot A = \dfrac{b}{a}\) | \(\cot B = \dfrac{a}{b}\) |
Основное тригонометрическое тождество:
\[\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\]
Связь между функциями:
\[\tan \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, \quad \cot \alpha = \dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha}, \quad \tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1\]
Выражение сторон через тригонометрические функции:
\[a = b \cdot \tan A = c \cdot \sin A = c \cdot \cos B\]
\[b = a \cdot \tan B = c \cdot \sin B = c \cdot \cos A\]
\[c = \dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{a}{\cos B} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{b}{\cos A}\]
4. Замечательные линии прямоугольного треугольника
Высота, проведённая к гипотенузе:
\[h_c = \dfrac{ab}{c} = \dfrac{S \cdot 2}{c}\]
\[h_c^2 = a_1 \cdot b_1\]
где \(a_1\) и \(b_1\) — проекции катетов на гипотенузу
Свойства проекций катетов:
\[a^2 = c \cdot a_1, \quad b^2 = c \cdot b_1, \quad a_1 + b_1 = c\]
Медиана, проведённая к гипотенузе:
\[m_c = \dfrac{c}{2} = R\]
Медианы к катетам:
\[m_a = \sqrt{b^2 + \dfrac{a^2}{4}}, \quad m_b = \sqrt{a^2 + \dfrac{b^2}{4}}\]
Соотношение между медианами:
\[m_a^2 + m_b^2 = 5m_c^2\]
Биссектриса прямого угла:
\[l_c = \dfrac{ab\sqrt{2}}{a + b}\]
5. Окружности, связанные с прямоугольным треугольником
Описанная окружность:
\[R = \dfrac{c}{2} = m_c\]
Вписанная окружность:
\[r = \dfrac{a + b — c}{2} = \dfrac{S}{p}\]
где \(p = \dfrac{a + b + c}{2}\) — полупериметр
Формула для радиуса вписанной окружности:
\[r = \dfrac{ab}{a + b + c}\]
Расстояние от вершины прямого угла до центра вписанной окружности:
\[d = \sqrt{2} \cdot r\]
6. Площадь и периметр
Площадь:
\[S = \dfrac{1}{2}ab \quad (\text{через катеты})\]
\[S = \dfrac{1}{2}ch_c \quad (\text{через гипотенузу и высоту})\]
\[S = \dfrac{c^2}{4} \cdot \sin 2\alpha \quad (\text{где α — один из острых углов})\]
Полупериметр:
\[p = \dfrac{a + b + c}{2}\]
Периметр:
\[P = a + b + c\]
Формула Герона (упрощённая для прямоугольного треугольника):
\[S = \sqrt{p(p — a)(p — b)(p — c)} = \dfrac{ab}{2}\]
7. Частные случаи прямоугольных треугольников
Равнобедренный прямоугольный треугольник (45°-45°-90°):
\(a = b, \quad \angle A = \angle B = 45^\circ, \quad c = a\sqrt{2}\)
\(S = \dfrac{a^2}{2}, \quad R = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}, \quad r = \dfrac{a(2 — \sqrt{2})}{2}\)
Треугольник с углами 30°-60°-90°:
Соотношение сторон: \(a : b : c = 1 : \sqrt{3} : 2\)
Катет против 30°: \(a = \dfrac{c}{2}\)
Катет против 60°: \(b = \dfrac{c\sqrt{3}}{2}\)
Египетский треугольник (3-4-5):
\(a = 3k, \quad b = 4k, \quad c = 5k\)
Проверка: \(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2\)
8. Пифагоровы тройки
| Название | a | b | c | Проверка |
|---|---|---|---|---|
| Египетский | 3 | 4 | 5 | 3²+4²=5² |
| Первый примитивный | 5 | 12 | 13 | 5²+12²=13² |
| Второй примитивный | 8 | 15 | 17 | 8²+15²=17² |
| Третий примитивный | 7 | 24 | 25 | 7²+24²=25² |
| Четвёртый примитивный | 20 | 21 | 29 | 20²+21²=29² |
Формула Евклида для генерации пифагоровых троек:
Для любых натуральных \(m > n > 0\):
\[a = m^2 — n^2, \quad b = 2mn, \quad c = m^2 + n^2\]
Пример: \(m=2, n=1\): \(a=3, b=4, c=5\)
9. Признаки равенства прямоугольных треугольников
- По двум катетам: Если два катета одного треугольника равны двум катетам другого
- По катету и прилежащему острому углу
- По катету и противолежащему острому углу
- По гипотенузе и острому углу
- По гипотенузе и катету
10. Примеры решения задач
Задача 1: Найти гипотенузу
Дано: \(a = 6\) см, \(b = 8\) см
\[c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ см}\]
Задача 2: Найти высоту к гипотенузе
Дано: \(a = 5\) см, \(b = 12\) см
\[c = \sqrt{5^2 + 12^2} = 13 \text{ см}\]
\[h_c = \dfrac{ab}{c} = \dfrac{5 \cdot 12}{13} = \dfrac{60}{13} \text{ см} \approx 4.62 \text{ см}\]
Задача 3: Найти радиус вписанной окружности
Дано: \(a = 3\) см, \(b = 4\) см
\[c = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \text{ см}\]
\[r = \dfrac{a + b — c}{2} = \dfrac{3 + 4 — 5}{2} = \dfrac{2}{2} = 1 \text{ см}\]
Задача 4: Найти медиану к гипотенузе
Дано: \(a = 6\) см, \(b = 8\) см
\[c = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10 \text{ см}\]
\[m_c = \dfrac{c}{2} = \dfrac{10}{2} = 5 \text{ см}\]
11. Важные свойства и факты
- В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы
- Медиана к гипотенузе равна половине гипотенузы и является радиусом описанной окружности
- Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то этот треугольник прямоугольный
- В прямоугольном треугольнике высота, проведённая к гипотенузе, делит его на два подобных треугольника, которые также подобны исходному
- Сумма острых углов прямоугольного треугольника всегда равна 90°
- В прямоугольном треугольнике против угла 30° лежит катет, равный половине гипотенузы
- Катет, лежащий против угла 60°, равен гипотенузе, умноженной на \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
- Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов
- Радиус вписанной окружности равен полуразности суммы катетов и гипотенузы
- Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный (обратная теорема Пифагора)
12. Применение в геометрических построениях
- Построение перпендикуляра к прямой через точку
- Построение угла в 45°, 30°, 60° с помощью циркуля и линейки
- Деление отрезка в золотом сечении
- Построение квадрата с заданной стороной
- Определение недоступных расстояний (геодезия, навигация)
- Решение задач на расстояние между точками в координатной плоскости
Один из углов прямоугольного треугольника равен 26°. Найдите угол между медианой и высотой этого треугольника, проведёнными к гипотенузе. — в скриншоте решение.
Теория
Свойство медианы прямоугольного треугольника
Медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы:
где \( M \) — середина гипотенузы \( AB \).
Свойство высоты прямоугольного треугольника
Высота, проведённая к гипотенузе, делит прямоугольный треугольник на два подобных треугольника.
Сумма острых углов прямоугольного треугольника
Равнобедренный треугольник
Если в треугольнике две стороны равны, то углы при основании равны.
Решение
Пусть в треугольнике \( ABC \) угол \( C = 90^\circ \), гипотенуза \( AB \).
Пусть \( \angle A = 26^\circ \), тогда:
Проведём медиану \( CM \) к гипотенузе \( AB \) (точка \( M \) — середина \( AB \)).
По свойству медианы прямоугольного треугольника:
Рассмотрим треугольник \( AMC \): в нём \( AM = CM \), значит он равнобедренный.
Углы при основании \( AC \) равны:
Но \( \angle MAC = \angle BAC = 26^\circ \), поэтому:
Проведём высоту \( CH \) к гипотенузе \( AB \).
Треугольник \( AHC \) прямоугольный (\( \angle AHC = 90^\circ \)), поэтому:
Теперь найдём угол между медианой \( CM \) и высотой \( CH \), то есть угол \( HCM \):
Если бы острый угол \( 26^\circ \) был при вершине \( B \), рассуждения были бы аналогичными, и ответ остался бы тем же.
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 4. Найдите радиус описанной окружности.
Теория
Свойство описанной окружности прямоугольного треугольника
Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы.
Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника
Радиус равен половине гипотенузы:
где \( c \) — длина гипотенузы.
Обоснование
Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°. И наоборот: если вписанный угол равен 90°, то он опирается на диаметр. В прямоугольном треугольнике прямой угол опирается на гипотенузу, значит гипотенуза является диаметром описанной окружности.
Решение
По условию гипотенуза прямоугольного треугольника:
В прямоугольном треугольнике гипотенуза является диаметром описанной окружности.
Радиус окружности равен половине диаметра:
Таким образом, радиус описанной окружности равен: