1. Определение
- Боковые стороны: \(AB = AC = b\)
- Основание: \(BC = a\)
- Углы при основании: \(\angle B = \angle C = \alpha\)
- Угол при вершине: \(\angle A = \beta\)
- Сумма углов: \(2\alpha + \beta = 180^\circ\)
2. Ключевые свойства
- Углы при основании равны: \(\angle B = \angle C\)
- Высота, медиана и биссектриса к основанию совпадают
- Прямая высоты — ось симметрии треугольника
- Центры вписанной и описанной окружностей лежат на высоте к основанию
3. Основные формулы
Высота к основанию
\[h = \sqrt{b^2 — \frac{a^2}{4}} = \frac{1}{2}\sqrt{4b^2 — a^2}\]
Площадь
\[S = \frac{1}{2}ah = \frac{a}{4}\sqrt{4b^2 — a^2}\]
Периметр
\[P = a + 2b\]
Радиусы окружностей
Описанная: \(R = \dfrac{b^2}{2h} \)
Вписанная: \(r = \dfrac{S}{p} = \dfrac{ah}{2(a+b)}\), где \(p = \dfrac{a+2b}{2}\)
Связь углов
\[\alpha = \frac{180^\circ — \beta}{2}, \quad \beta = 180^\circ — 2\alpha\ , \; \cos\alpha = \frac{a}{2b}, \quad \sin\alpha = \frac{h}{b}\]
4. Признаки
- Две стороны равны ⟹ треугольник равнобедренный
- Два угла равны ⟹ треугольник равнобедренный
- Высота = медиана (к одной стороне) ⟹ треугольник равнобедренный
5. Особые случаи
Равнобедренный прямоугольный
Углы: \(45^\circ, 45^\circ, 90^\circ\)
Стороны: \(a : a : a\sqrt{2}\)
Равносторонний
Все стороны = \(a\), все углы = \(60^\circ\)
\(h = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}, \; S = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}\)
Золотой треугольник
Углы: \(36^\circ, 72^\circ, 72^\circ\)
\(\dfrac{b}{a} = \varphi = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618\)
6. Примеры задач
Дано: \(a = 16\) см, \(b = 10\) см
\[h = \sqrt{10^2 — 8^2} = \sqrt{36} = 6\ \text{см}\]
\[S = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 6 = 48\ \text{см}^2\]
Ответ: \(h = 6\) см, \(S = 48\) см²
Дано: \(P = 36\) см, \(h = 12\) см
\(a + 2b = 36,\; b^2 = 12^2 + (a/2)^2\)
\(b = 13\) см, \(a = 10\) см
Ответ: основание 10 см, боковые 13 см
7. Шпаргалка
| Элемент | Формула |
|---|---|
| Высота | \(h = \sqrt{b^2 — \dfrac{a^2}{4}}\) |
| Площадь | \(S = \dfrac{a}{4}\sqrt{4b^2 — a^2}\) |
| Периметр | \(P = a + 2b\) |
| Угол при основании | \(\alpha = \arccos\dfrac{a}{2b}\) |
| Радиус описанной | \(R = \dfrac{b^2}{2h}\) |