Разложения √S в цепную дробь

От /

Разложение в цепную дробь — это мощный и элегантный математический аппарат, который может быть применён и для представления квадратных корней. Это разложение не только точно, но и обладает рядом уникальных свойств.

Историческая справка

Теория цепных дробей была разработана в XVII-XVIII веках такими математиками, как Кристиан Гюйгенс, Леонард Эйлер и Жозеф Луи Лагранж. Однако алгоритмы для квадратных корней были известны ещё древнегреческим математикам, которые изучали «несоизмеримые» величины (иррациональности).

Что такое цепная дробь?

Цепная дробь — это выражение вида:

a₀ + 1 / (a₁ + 1 / (a₂ + 1 / (a₃ + ...)))

где a₀ — целое число, а a₁, a₂, a₃, ... — натуральные числа (положительные целые), называемые неполными частными.

Для квадратного корня из натурального числа S разложение в цепную дробь всегда является периодическим (теорема Лагранжа).

Алгоритм разложения √S в цепную дробь

Разложение квадратичной иррациональности (например, √S) в цепную дробь можно выполнить следующим алгоритмом:

  1. Пусть α₀ = √S.
  2. a₀ = ⌊α₀⌋ (целая часть).
  3. Затем для i = 1, 2, 3, ...:
    • α_i = 1 / (α_{i-1} - a_{i-1})
    • a_i = ⌊α_i⌋

Процесс продолжается до тех пор, пока не обнаружится период.

Пример: Разложение √2 в цепную дробь

Истинное значение: √2 ≈ 1.41421356237

  1. α₀ = √2 ≈ 1.4142
    • a₀ = ⌊1.4142⌋ = 1
  2. α₁ = 1 / (√2 - 1) = 1 / (0.4142) ≈ 2.4142
    • a₁ = ⌊2.4142⌋ = 2
  3. α₂ = 1 / (2.4142 - 2) = 1 / 0.4142 ≈ 2.4142 (получили снова α₁)
    • a₂ = ⌊2.4142⌋ = 2

Процесс зациклился. Таким образом, разложение √2 в цепную дробь имеет вид:
√2 = [1; 2, 2, 2, 2, …] = 1 + 1/(2 + 1/(2 + 1/(2 + …)))

Пример: Разложение √50 в цепную дробь

Истинное значение: √50 ≈ 7.071067811865

  1. α₀ = √50 ≈ 7.07106
    • a₀ = ⌊7.07106⌋ = 7
  2. α₁ = 1 / (√50 - 7) = 1 / (0.07106) ≈ 14.07106
    • a₁ = ⌊14.07106⌋ = 14
  3. α₂ = 1 / (14.07106 - 14) = 1 / 0.07106 ≈ 14.07106 (получили α₁)
    • a₂ = ⌊14.07106⌋ = 14

Разложение зациклилось. Таким образом:
√50 = [7; 14, 14, 14, …] = 7 + 1/(14 + 1/(14 + 1/(14 + …)))

Пример: Разложение √145 в цепную дробь

Истинное значение: √145 ≈ 12.0415945788

  1. α₀ = √145 ≈ 12.04159
    • a₀ = ⌊12.04159⌋ = 12
  2. α₁ = 1 / (√145 - 12) = 1 / (0.04159) ≈ 24.04159
    • a₁ = ⌊24.04159⌋ = 24
  3. α₂ = 1 / (24.04159 - 24) = 1 / 0.04159 ≈ 24.04159 (получили α₁)
    • a₂ = ⌊24.04159⌋ = 24

Разложение зациклилось:
√145 = [12; 24, 24, 24, …] = 12 + 1/(24 + 1/(24 + 1/(24 + …)))

Свойства цепных дробей для квадратных корней

  1. Периодичность: Разложение любого квадратного корня из натурального числа, не являющегося полным квадратом, является периодическим.
  2. Точность: Подходящие дроби (числитель и знаменатель которых вычисляются по неполным частным) дают наилучшие рациональные приближения к иррациональному числу.
  3. Скорость сходимости: Цепные дроби сходятся к истинному значению очень быстро (гораздо быстрее, чем десятичные дроби).
Прокрутить вверх