Определение

Разность двух векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) — это такой вектор \(\vec{c}\), который в сумме с вектором \(\vec{b}\) дает вектор \(\vec{a}\):

\(\vec{a} - \vec{b} = \vec{c} \quad \text{если} \quad \vec{c} + \vec{b} = \vec{a}\)

Или иначе: разность векторов \(\vec{a} - \vec{b}\) — это сумма вектора \(\vec{a}\) и вектора, противоположного вектору \(\vec{b}\):

\(\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})\)

Свойства и формулы

Вычитание через координаты
\(\vec{a} - \vec{b} = (x_a - x_b, y_a - y_b)\)
Модуль разности
\(|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{(x_a - x_b)^2 + (y_a - y_b)^2}\)
Вычитание нулевого вектора
\(\vec{a} - \vec{0} = \vec{a}\)
Вычитание самого себя
\(\vec{a} - \vec{a} = \vec{0}\)

Важное отличие от сложения

В отличие от сложения векторов, разность векторов не коммутативна:

\(\vec{a} - \vec{b} \neq \vec{b} - \vec{a}\)

Фактически, векторы \(\vec{a} - \vec{b}\) и \(\vec{b} - \vec{a}\) противоположны друг другу:

\(\vec{a} - \vec{b} = -(\vec{b} - \vec{a})\)

Приемы вычисления

1. Правило треугольника для разности

Чтобы построить разность векторов \(\vec{a} - \vec{b}\) по правилу треугольника, нужно отложить векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) из общего начала. Тогда вектор, направленный из конца вектора \(\vec{b}\) в конец вектора \(\vec{a}\), будет равен \(\vec{a} - \vec{b}\).

2. Через сложение с противоположным вектором

Разность векторов \(\vec{a} - \vec{b}\) можно представить как сумму вектора \(\vec{a}\) и вектора, противоположного вектору \(\vec{b}\) (т.е. вектора \(-\vec{b}\), имеющего ту же длину, но противоположное направление).

3. Вычитание через координаты

Для векторов \(\vec{a} = (x_a, y_a)\) и \(\vec{b} = (x_b, y_b)\) разность вычисляется покоординатно:

\(\vec{a} - \vec{b} = (x_a - x_b, y_a - y_b)\)

Этот метод наиболее удобен для аналитических вычислений.

Демонстрация

Измените координаты векторов (в единицах координатной сетки) и выберите метод вычитания, чтобы увидеть результат.

Каждая единица соответствует одной клетке сетки.

XA = 4
YA = 3
XB = 1
YB = 5

Примеры для изучения:

Результат вычитания

Вектор A (уменьшаемое): (4, 3), модуль: 5.00

Вектор B (вычитаемое): (1, 5), модуль: 5.10

Разность A - B: (3, -2), модуль: 3.61

Разность B - A: (-3, 2), модуль: 3.61

\

Геометрический смысл

Вектор \(\vec{a} - \vec{b}\) соединяет концы векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), отложенных из общего начала, и направлен от конца \(\vec{b}\) к концу \(\vec{a}\).

Модуль разности \(|\vec{a} - \vec{b}|\) равен расстоянию между концами векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\).

Примеры из физики

Относительная скорость

Скорость тела A относительно тела B равна векторной разности их скоростей: \(\vec{v}_{AB} = \vec{v}_A - \vec{v}_B\).

Изменение скорости

Ускорение связано с изменением скорости: \(\vec{a} = \frac{\vec{v}_2 - \vec{v}_1}{\Delta t}\).

Перемещение относительно

Перемещение тела A относительно тела B: \(\vec{r}_{AB} = \vec{r}_A - \vec{r}_B\).

Разность сил

Равнодействующая двух противоположно направленных сил находится как разность их модулей.