📚 ЕГЭ 2026 Математика
Профильный уровень | Тренировочный вариант №10
🎉 Тест завершён!
Ваш результат: 0 из 19 баллов
Дополнительно
Задание 19 | Теория чисел
📋 Условие задачи
Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля).
а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 20?
б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 81?
в) Какое наименьшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?
🔍 Подробное решение
💡 Обозначения
Пусть трёхзначное число: \(\overline{abc} = 100a + 10b + c\)
где \(a \in \{1, 2, …, 9\}\) (первая цифра не может быть 0)
\(b, c \in \{0, 1, …, 9\}\)
Сумма цифр: \(S = a + b + c\)
Частное: \(Q = \frac{100a + 10b + c}{a + b + c}\)
Может ли частное быть равным 20?
Составим уравнение:
\(100a + 10b + c = 20(a + b + c)\)
\(100a + 10b + c = 20a + 20b + 20c\)
\(80a = 10b + 19c\)
Подберём значения \(a, b, c\):
При \(c = 0\): \(10b = 80 \Rightarrow b = 8\) ✓
Проверка:
Сумма цифр: \(1 + 8 + 0 = 9\)
Частное: \(\frac{180}{9} = 20\) ✅
Пример: число 180
Может ли частное быть равным 81?
Составим уравнение:
\(100a + 10b + c = 81(a + b + c)\)
\(100a + 10b + c = 81a + 81b + 81c\)
\(19a = 71b + 80c\)
Проанализируем возможные значения:
\(b, c \in \{0, …, 9\}\) → правая часть принимает значения кратные 71 и 80
Проверим все значения \(a\):
| a | 19a | Возможно ли 71b + 80c? | Результат |
|---|---|---|---|
| 1 | 19 | Минимум 71 (при b=1) | ✗ |
| 2 | 38 | 71 > 38 | ✗ |
| 3 | 57 | 71 > 57 | ✗ |
| 4 | 76 | b=1: 71, нужно 5 от 80c | ✗ |
| 5 | 95 | b=1: 71, нужно 24 от 80c | ✗ |
| 6 | 114 | b=1: 71, нужно 43 от 80c | ✗ |
| 7 | 133 | b=1: 71, нужно 62 от 80c | ✗ |
| 8 | 152 | b=2: 142, нужно 10 от 80c | ✗ |
| 9 | 171 | b=2: 142, нужно 29 от 80c | ✗ |
Нет натуральных решений уравнения
Наименьшее натуральное значение частного
🎯 Стратегия
Для минимизации \(Q\) нужно максимизировать знаменатель относительно числителя. Это достигается при:
- Минимальной первой цифре \(a = 1\)
- Максимальных остальных цифрах \(b = 9, c = 9\)
Преобразуем выражение для частного:
\(Q = \frac{99a + 9b}{a + b + c} + 1\)
\(Q = \frac{9(11a + b)}{a + b + c} + 1\)
Для натурального \(Q\) нужно, чтобы \((a + b + c)\) делило \(9(11a + b)\)
Проверим малые значения \(Q\):
Проверка Q = 10:
\(100a + 10b + c = 10a + 10b + 10c\)
\(90a = 9c\)
\(10a = c\)
Так как \(c \leq 9\) и \(a \geq 1\), это \(\Rightarrow\) невозможно ❌
Проверка Q = 11:
\(100a + 10b + c = 11a + 11b + 11c\)
\(89a = b + 10c\)
При \(a = 1\): \(89 = b + 10c\)
При \(c = 8\): \(b = 89 — 80 = 9\) ✅
Проверка найденного числа:
Сумма цифр: \(1 + 9 + 8 = 18\)
Частное: \(\frac{198}{18} = 11\) ✅
Пример: число 198
📝 Итоговый ответ
💡 Советы для ЕГЭ
1. Всегда записывайте число в виде \(\overline{abc} = 100a + 10b + c\)
2. Для поиска минимума/максимума перебирайте крайние значения цифр
3. Проверяйте делимость при поиске натуральных значений частного
4. Не забывайте про ограничение: первая цифра не может быть 0