📌 Общая формула

Пусть первый из этих членов равен \(a\) (целое), разность \(d \neq 0\) (целое), количество членов \(k \ge 5\).

Сумма \(k\) последовательных членов арифметической прогрессии:

Обозначим \(T = 2a + (k-1)d\). Тогда \(S = \dfrac{k \cdot T}{2}\).

\(T\) — целое число. Чтобы \(S\) было целым, \(k\) и \(T\) должны быть одинаковой чётности (т.е. либо оба чётные, либо оба нечётные).

✅ а) \(S = 9\) ?

Подберём явный пример.

Возьмём \(k = 6\) (чётное). Тогда \(S = 3 \cdot (2a + 5d)\).

Нужно \(2a + 5d = 3\). Выберем \(d = 1\):

\(2a + 5 = 3 \Rightarrow 2a = -2 \Rightarrow a = -1\).

Прогрессия: \(-1, 0, 1, 2, 3, 4\). Сумма: \((-1)+0+1+2+3+4 = 9\).

Условия выполнены: \(k=6\ge5\), \(d=1\neq0\), все члены целые.

Значит, да, может.

✅ Ответ на (а): ДА

❌ б) \(S = 2\) ?

\(S = \dfrac{kT}{2}\), где \(k \ge 5\), \(T\) целое.

Тогда \(kT = 4\). Так как \(k \ge 5\), то \(|k| \ge 5\), значит \(|kT| \ge 5\). Но у нас \(kT = 4\) — противоречие.

Следовательно, \(S = 2\) получить невозможно.

✅ Ответ на (б): НЕТ

🔢 в) Все возможные значения \(S\)

Из формулы \(S = \dfrac{kT}{2}\), \(k \ge 5\), \(T\) целое, \(k\) и \(T\) одной чётности.

Исследуем, какие целые числа можно представить в таком виде.

🔹 Положительные \(S\)

Для любого \(S \ge 3\) возьмём \(k = 2S\) (чётное, \(k \ge 6\) при \(S \ge 3\)) и \(T = 1\) (нечётное). Тогда \(S = \dfrac{2S \cdot 1}{2} = S\). Совпадение чётности: \(k\) чётно, \(T\) нечётно — допустимо, так как для чётного \(k\) \(T\) может быть любым.

Проверим осуществимость: \(T = 1 = 2a + (k-1)d\). Подберём \(d = 1\): \(1 = 2a + (2S-1) \Rightarrow 2a = 2 — 2S \Rightarrow a = 1 — S\) (целое). Прогрессия существует.

Пример для \(S=3\): \(k=6, a=-2, d=1\): \(-2,-1,0,1,2,3\) сумма 3.

Для \(S=4\): \(k=8, a=-3, d=1\): \(-3,-2,-1,0,1,2,3,4\) сумма 4.

И так далее — любое \(S \ge 3\) достигается.

🔹 \(S = 1\) и \(S = 2\)

\(S=1\): нужно \(kT=2\) при \(k\ge5\) — невозможно.

\(S=2\): нужно \(kT=4\) при \(k\ge5\) — невозможно.

🔹 \(S = 0\)

Достигается симметричной прогрессией: например, \(-2,-1,0,1,2\) (сумма 0) при \(k=5\).

🔹 Отрицательные \(S\)

Достаточно взять прогрессию, симметричную положительному случаю, с противоположным знаком. Например, для \(S = -3\) возьмём \(k=6, a=-3, d=1\): \(-3,-2,-1,0,1,2\) сумма -3.

Значит, все отрицательные числа, кроме \(-1, -2\), тоже достигаются.

🔹 Итог

Множество всех возможных \(S\) — это все целые числа, кроме \(\pm 1\) и \(\pm 2\).

✅ Ответ на (в): все целые, кроме ±1 и ±2