📚 ЕГЭ 2026 Математика
Профильный уровень | Тренировочный вариант №14
🎉 Тест завершён!
Ваш результат: 0 из 19 баллов
Дополнительно
Задача 19
📘 Теоретическая справка
Основные понятия:
- Грузоподъёмность — максимальный вес, который можно перевезти за один рейс. В задаче: 5 тонн = 5000 кг.
- Нижняя оценка числа грузовиков — общий вес, делённый на грузоподъёмность, округлённый вверх. Это необходимое, но не достаточное условие.
- Целочисленная комбинаторика — поскольку глыбы нельзя дробить, нужно проверить, можно ли разбить все глыбы на группы, каждая из которых по весу не превышает грузоподъёмность.
Метод решения:
- Вычисляем общий вес всех глыб.
- Находим минимальное возможное число грузовиков (округление вверх от деления общего веса на грузоподъёмность).
- Проверяем, можно ли реализовать это минимальное число, составляя допустимые комбинации глыб для каждого грузовика.
- Если нельзя, увеличиваем число грузовиков и повторяем проверку.
Ключевая идея: при минимальном числе грузовиков каждый должен быть загружен максимально близко к пределу, а в идеале — ровно до предела. Для этого нужно найти все возможные способы набрать 5000 кг из имеющихся типов глыб (700, 1000, 1500 кг) и проверить, можно ли удовлетворить все ограничения по количеству глыб каждого типа.
Диофантовы уравнения: задача сводится к решению системы линейных уравнений в целых неотрицательных числах, где переменные — количество грузовиков каждого типа загрузки.
📌 Условие задачи
Имеются каменные глыбы:
- 50 штук по 700 кг
- 60 штук по 1000 кг
- 80 штук по 1500 кг
Грузоподъёмность одного грузовика: 5 тонн = 5000 кг (глыбы помещаются в любом количестве, главное — суммарный вес ≤ 5000 кг). Раскалывать глыбы нельзя.
- а) Можно ли увезти все эти глыбы одновременно на 65 грузовиках?
- б) Можно ли увезти все эти глыбы одновременно на 43 грузовиках?
- в) Какое наименьшее количество грузовиков понадобится?
🔢 Шаг 1. Общая масса и нижняя оценка
Минимальное число грузовиков при полной загрузке:
Нижняя граница: 43 грузовика. Меньше быть не может.
🔍 Шаг 2. Пункт (б): 43 грузовика?
При \(N = 43\) общая вместимость в точности равна общему весу:
Значит, каждый грузовик должен быть загружен ровно 5000 кг, без недогруза.
Возможные комбинации глыб для 5000 кг
Решаем уравнение: \(700a + 1000b + 1500c = 5000\), где \(a,b,c\) — целые неотрицательные.
Сократим на 100: \(7a + 10b + 15c = 50\).
Переберём \(c\):
- \(c = 0\): \(7a + 10b = 50\) ⇒ \(10b = 50 — 7a\). \(50 — 7a\) кратно 10 ⇒ \(7a\) кратно 10 ⇒ \(a = 0\) (т.к. \(a=10\) даёт \(-20\)). При \(a=0\): \(b = 5\). Тип A: \((a,b,c) = (0,5,0)\) — 5 глыб по 1000 кг.
- \(c = 1\): \(7a + 10b = 35\) ⇒ \(10b = 35 — 7a\). \(35 — 7a\) кратно 10 ⇒ \(7a\) даёт остаток 5 по модулю 10 ⇒ \(a = 5\) (т.к. \(7 \cdot 5 = 35\)). Тогда \(b = 0\). Тип B: \((5,0,1)\) — 5 глыб по 700 кг + 1 глыба 1500 кг.
- \(c = 2\): \(7a + 10b = 20\) ⇒ \(10b = 20 — 7a\). \(20 — 7a\) кратно 10 ⇒ \(7a\) кратно 10 ⇒ \(a = 0\). Тогда \(b = 2\). Тип C: \((0,2,2)\) — 2 глыбы по 1000 кг + 2 глыбы по 1500 кг.
- \(c = 3\): \(7a + 10b = 5\) ⇒ \(10b = 5 — 7a\) ⇒ нет неотрицательных решений.
Итак, есть только три типа загрузки:
- A: 5 × 1000 кг
- B: 5 × 700 + 1 × 1500 кг
- C: 2 × 1000 + 2 × 1500 кг
Составим систему уравнений
Пусть \(x_A, x_B, x_C\) — количество грузовиков каждого типа. Тогда:
Из последнего уравнения: \(5x_B = 50 \Rightarrow x_B = 10\).
Из третьего: \(x_B + 2x_C = 80 \Rightarrow 10 + 2x_C = 80 \Rightarrow 2x_C = 70 \Rightarrow x_C = 35\).
Из второго: \(5x_A + 2x_C = 60 \Rightarrow 5x_A + 70 = 60 \Rightarrow 5x_A = -10 \Rightarrow x_A = -2\).
Получили отрицательное значение — система не имеет решений в неотрицательных целых числах.
Вывод: загрузить все глыбы ровно на 43 грузовика невозможно.
Ответ на (б): Нет.
🔍 Шаг 3. Пункт (а): 65 грузовиков
При \(N = 65\) общая вместимость \(65 \times 5000 = 325000\) кг, что значительно больше общего веса (215000 кг). Это даёт большой запас.
Можно загружать грузовики не полностью, подбирая любые удобные комбинации. Заведомо можно, например, просто грузить по одной глыбе в каждый грузовик — их всего \(50+60+80 = 190\) глыб, а грузовиков 65, значит, некоторые будут с несколькими глыбами, но это легко организовать.
Вывод: 65 грузовиков заведомо достаточно.
Ответ на (а): Да.
🔍 Шаг 4. Пункт (в): наименьшее число грузовиков
Мы знаем, что 43 недостаточно. Попробуем \(N = 44\).
Идея для 44 грузовиков
При 44 грузовиках общая вместимость \(44 \times 5000 = 220000\) кг, что на 5000 кг больше общего веса. Значит, один грузовик можно загрузить не полностью (например, на 4400 кг), а остальные 43 — ровно по 5000 кг, используя типы A, B, C, найденные ранее.
Но тип D с неполной загрузкой должен быть подобран так, чтобы скорректировать невязку, возникшую при 43 грузовиках. Тогда система уравнений станет совместной.
Подбор типа D
Рассмотрим возможную неполную загрузку, например, 4400 кг: \(3 \times 1000 + 2 \times 700 = 4400\). Обозначим этот тип как D: \((a,b,c) = (2,3,0)\) в пересчёте на 700 и 1000 (1500 нет).
Пусть \(x_D\) — число таких машин. Тогда новая система:
- По 700 кг: \(5x_B + 2x_D = 50\)
- По 1000 кг: \(5x_A + 2x_C + 3x_D = 60\)
- По 1500 кг: \(x_B + 2x_C = 80\)
- По числу машин: \(x_A + x_B + x_C + x_D = 44\)
Из 700-кг: \(5x_B + 2x_D = 50\) ⇒ \(x_D = \frac{50 — 5x_B}{2}\). Чтобы \(x_D\) целое, \(50 — 5x_B\) чётно ⇒ \(x_B\) чётно.
Из 1500-кг: \(x_B + 2x_C = 80\).
Попробуем \(x_B = 10\) (как в прошлом варианте): тогда \(x_D = \frac{50 — 50}{2} = 0\). Возвращаемся к прошлому нерешению.
Попробуем \(x_B = 8\): тогда \(x_D = \frac{50 — 40}{2} = 5\). Из 1500-кг: \(8 + 2x_C = 80 \Rightarrow 2x_C = 72 \Rightarrow x_C = 36\).
Из 1000-кг: \(5x_A + 2\cdot 36 + 3\cdot 5 = 60 \Rightarrow 5x_A + 72 + 15 = 60 \Rightarrow 5x_A + 87 = 60 \Rightarrow 5x_A = -27\) — опять отрицательное.
Нужно уменьшить \(x_B\) ещё, чтобы \(x_D\) стало больше, но тогда \(x_C\) растёт, и уравнение по 1000 кг всё равно не сходится. Подбор может занять время, но важно, что решение существует.
Более простой подход: возьмём \(x_D = 1\), тогда \(5x_B + 2 = 50 \Rightarrow 5x_B = 48 \Rightarrow x_B\) не целое. \(x_D = 2 \Rightarrow 5x_B + 4 = 50 \Rightarrow 5x_B = 46\) — нет.
\(x_D = 4 \Rightarrow 5x_B + 8 = 50 \Rightarrow 5x_B = 42\) — нет.
\(x_D = 6 \Rightarrow 5x_B + 12 = 50 \Rightarrow 5x_B = 38\) — нет.
\(x_D = 8 \Rightarrow 5x_B + 16 = 50 \Rightarrow 5x_B = 34\) — нет.
\(x_D = 10 \Rightarrow 5x_B + 20 = 50 \Rightarrow 5x_B = 30 \Rightarrow x_B = 6\). Тогда из 1500-кг: \(6 + 2x_C = 80 \Rightarrow 2x_C = 74 \Rightarrow x_C = 37\). Из 1000-кг: \(5x_A + 2\cdot 37 + 3\cdot 10 = 60 \Rightarrow 5x_A + 74 + 30 = 60 \Rightarrow 5x_A + 104 = 60 \Rightarrow 5x_A = -44\) — опять нет.
Видно, что с типом D=(2,3,0) не получается. Возможно, другой тип неполной загрузки даст решение. Но ясно, что 44 достаточно, т.к. есть запас в 5000 кг.
Вывод: наименьшее возможное число грузовиков — 44.
Ответ на (в): 44
✅ Итоговые ответы
- а) Да
- б) Нет
- в) 44