📚 ЕГЭ 2026 Математика
Профильный уровень | Тренировочный вариант №15
🎉 Тест завершён!
Ваш результат: 0 из 19 баллов
Дополнительно
Задача 19
Условие: На доске написано несколько различных натуральных чисел. Произведение любых двух из этих чисел больше 45 и меньше 120.
Вопросы:
- а) Может ли быть 5 чисел?
- б) Может ли быть 6 чисел?
- в) Если чисел ровно 4, то какая наименьшая возможная сумма?
✅ а) Может ли быть 5 чисел?
Да, может. Например, возьмём числа:
Проверим все пары (самые «опасные» — крайние):
- \(6 \times 11 = 66\) — больше 45 ✅
- \(6 \times 8 = 48\) — больше 45 ✅
- \(10 \times 11 = 110\) — меньше 120 ✅
- \(9 \times 11 = 99\) — меньше 120 ✅
Можно проверить любую другую пару — все произведения лежат строго между 45 и 120.
Значит, 5 чисел возможно.
✅ Ответ на (а): ДА
❌ б) Может ли быть 6 чисел?
Ключевая идея: Если чисел 6, то возьмём три самых маленьких \(a < b < c\) и три самых больших \(d < e < f\).
Тогда \(c \cdot d\) должно быть меньше 120. Но \(c\) не намного больше \(b\), а \(d\) не намного меньше \(e\).
В любом случае, подбором можно убедиться: при \(a=6\) максимум 5 чисел (мы это уже проверили примером). При \(a=5\) второе число \(b=10\), и тогда \(10 \cdot f < 120\) ⇒ \(f < 12\), а \(c,d,e,f\) нужно 4 числа больше 10 и меньше 12 — невозможно.
При \(a=7\): \(b=8\), \(8 \cdot f < 120\) ⇒ \(f < 15\), между 8 и 15 нужно 5 чисел (b, c, d, e, f) — это 8,9,10,11,12,13,14 — кандидатов много, но проверим пары: 12*14=168>120 — плохо. Чтобы избежать этого, нельзя брать одновременно 12 и 14, и вообще оказывается, что нельзя набрать 6 чисел без нарушения условия «меньше 120» для какой-то пары из средней и большой.
Проще говоря: максимальное количество чисел, которое можно подобрать, — это 5 (пример: 6,8,9,10,11). Для 6 чисел всегда найдётся пара, произведение которых либо ≤45, либо ≥120.
✅ Ответ на (б): НЕТ
🧮 в) Наименьшая сумма для 4 чисел
Нам нужно подобрать 4 различных натуральных числа с условием 45 < произведение любых двух < 120 так, чтобы их сумма была как можно меньше.
Чтобы сумма была маленькой, числа должны быть маленькими. Но они не могут быть слишком маленькими, иначе их произведение будет ≤45.
Самое маленькое возможное число — попробуем начать с \(a=6\).
Тогда второе число \(b\) должно быть таким, чтобы \(a \cdot b > 45\) ⇒ \(b > 45/6 = 7.5\) ⇒ \(b \ge 8\). Берём \(b = 8\).
Третье число \(c\): должно быть больше \(b\). Условия: \(a \cdot c > 45\) (ок, т.к. c>8⇒>48), \(b \cdot c < 120\) ⇒ \(c < 120/8 = 15\). Наименьшее целое c > 8 — это \(c = 9\).
Четвёртое число \(d\): должно быть больше \(c\). Условия:
- \(a \cdot d < 120\) ⇒ \(d < 120/6 = 20\) — слабо.
- \(b \cdot d < 120\) ⇒ \(d < 120/8 = 15\).
- \(c \cdot d < 120\) ⇒ \(d < 120/9 \approx 13.33\) ⇒ \(d \le 13\).
- \(d > c = 9\).
Наименьшее целое d, подходящее под все: \(d = 10\).
Проверим пары с d=10:
- \(6 \times 10 = 60\) (ok, >45 и <120)
- \(8 \times 10 = 80\) (ok)
- \(9 \times 10 = 90\) (ok)
Итак, набор: \(6, 8, 9, 10\) — сумма \(6+8+9+10 = 33\).
Почему нельзя взять меньше 6?
Если \(a = 5\): тогда \(b > 45/5 = 9\) ⇒ \(b = 10\). Тогда \(c > 10\), и \(b \cdot c < 120\) ⇒ \(c < 12\) ⇒ c ≤ 11. Берём c=11. Для d: \(c \cdot d < 120\) ⇒ \(d < 120/11 \approx 10.9\) — но d > c = 11 — противоречие. Значит, 4 числа при a=5 не собрать.
Если a < 5 — ещё хуже, b будет ещё больше, и оставшиеся числа не влезут.
Значит, минимальная сумма для 4 чисел — это 33.
✅ Ответ на (в): 33
а) ДА (пример: 6,8,9,10,11)
б) НЕТ
в) 33 (пример для 4 чисел: 6,8,9,10)