📚 ЕГЭ 2026 Математика
Профильный уровень | Тренировочный вариант №16
🎉 Тест завершён!
Ваш результат: 0 из 19 баллов
Дополнительно
Задача 19
Условие: С трёхзначным числом делают так: вычитают из него сумму его цифр, затем результат делят на 3. Числа берутся от 100 до 600 включительно.
Вопросы: а) 300? б) 151? в) сколько разных результатов?
📐 Упростим формулу
Пусть \( N = 100a + 10b + c \), где \( a \) — цифра сотен (от 1 до 9), \( b \) — цифра десятков (0–9), \( c \) — цифра единиц (0–9).
Сумма цифр \( S = a+b+c \).
Операция: \[ f(N) = \frac{N — S}{3} = \frac{100a+10b+c — (a+b+c)}{3} = \frac{99a + 9b}{3} = 33a + 3b. \]
Важнейший вывод: результат зависит только от \( a \) и \( b \), и совсем не зависит от \( c \)! То есть для фиксированных \( a \) и \( b \) все числа с разными \( c \) дают один и тот же результат.
✅ а) Может ли получиться 300?
Решаем уравнение \( 33a + 3b = 300 \).
\[ 3(11a + b) = 300 \ \Rightarrow\ 11a + b = 100. \]
Перебираем \( a \) от 1 до 9, ищем \( b \) от 0 до 9.
- \( a = 9 \): \( b = 100 — 99 = 1 \) — подходит ✅
- \( a = 8 \): \( b = 12 \) — не подходит ❌
Пример: \( a=9, b=1, c \) любое, например \( N = 910 \):
\( 910 — (9+1+0) = 900 \), \( 900/3 = 300 \).
✅ Ответ на (а): ДА
❌ б) Может ли получиться 151?
Уравнение: \( 33a + 3b = 151 \).
\[ 3(11a + b) = 151 \ \Rightarrow\ 11a + b = \frac{151}{3} \notin \mathbb{Z}. \]
151 не делится на 3, значит, равенство невозможно.
✅ Ответ на (б): НЕТ
🧮 в) Сколько различных чисел получится?
🔹 Шаг 1. Какие значения может принимать \( a \)?
Исходные числа \( N \) от 100 до 600.
Если \( a = 1 \), то \( N \) от 100 до 199 — все подходят.
Если \( a = 2 \), то \( N \) от 200 до 299 — все подходят.
\( a = 3,4,5 \) — аналогично.
Если \( a = 6 \), то \( N \) от 600 до 699. Но нам нужны только \( N \le 600 \).
Поэтому при \( a = 6 \) подходят только числа, которые не больше 600. Это значит, что \( N = 600 + 10b + c \le 600 \) ⇒ \( 10b + c \le 0 \).
Единственный способ: \( b = 0 \) и \( c = 0 \). То есть подходит только число \( N = 600 \).
Итог: возможные значения \( a \): \( 1,2,3,4,5,6 \), но при \( a=6 \) только одно число.
🔹 Шаг 2. Сколько даёт значений каждый \( a \)?
Формула: \( f(N) = 33a + 3b \), \( b = 0,1,\dots,9 \).
Для фиксированного \( a \) это арифметическая прогрессия с шагом 3:
\[ \{ 33a,\ 33a+3,\ 33a+6,\ \dots,\ 33a+27 \} \]
Всего 10 чисел (b = 0..9).
🔹 Шаг 3. Но для \( a=6 \) есть ограничение на \( b \)
Как мы выяснили, при \( a=6 \) подходит только \( N = 600 \), а у него \( b=0 \).
Значит, для \( a=6 \) допустимо только \( b=0 \), поэтому получается только одно значение \( f = 33\cdot 6 + 3\cdot 0 = 198 \).
🔹 Шаг 4. Проверим, не повторяются ли значения для разных \( a \)
Предположим, \( 33a_1 + 3b_1 = 33a_2 + 3b_2 \) при \( a_1 \ne a_2 \).
Переносим: \( 33(a_1 — a_2) = 3(b_2 — b_1) \) ⇒ \( 11(a_1 — a_2) = b_2 — b_1 \).
Левая часть кратна 11. Правая часть \( b_2 — b_1 \) может быть от \(-9\) до \(9\). Единственное кратное 11 в этом диапазоне — это 0. Значит, \( a_1 = a_2 \).
Вывод: значения для разных \( a \) никогда не пересекаются.
🔹 Шаг 5. Считаем общее количество различных результатов
\( a = 1 \) даёт 10 значений (b=0..9).
\( a = 2 \) даёт 10 значений.
\( a = 3 \) даёт 10 значений.
\( a = 4 \) даёт 10 значений.
\( a = 5 \) даёт 10 значений.
\( a = 6 \) даёт 1 значение (только b=0).
Всего: \( 5 \times 10 + 1 = 51 \) различных чисел.
🔹 Шаг 6. Почему не 60? (важный момент)
Если бы мы рассматривали все трёхзначные числа (100..999), то \( a \) было бы от 1 до 9, каждое давало бы 10 значений, всего 90 разных чисел.
Но в нашей задаче числа только до 600, поэтому \( a \) может быть только до 6, и при \( a=6 \) ещё и обрезается \( b \). Из-за этого теряем 9 значений (b=1..9 для a=6) по сравнению с полным набором 10×6=60. Вот и получается 51.
✅ Ответ на (в): 51
а) ДА
б) НЕТ
в) 51