📚 ЕГЭ 2026 Математика
Профильный уровень | Тренировочный вариант №17
🎉 Тест завершён!
Ваш результат: 0 из 19 баллов
Дополнительно
Задание 19 | Теория чисел
📋 Условие задачи
На доске написано \(n\) единиц подряд. Между некоторыми из них расставляют знаки «+» и считают получившуюся сумму. Например, если было написано 10 единиц, то можно получить сумму 136: \(1+1+111+11+11+1=136\)
а) Можно ли получить сумму 141, если \(n = 60\)?
б) Можно ли получить сумму 141, если \(n = 80\)?
в) Для скольких значений \(n\) можно получить сумму 141?
🔍 Подробное решение
💡 Ключевая идея
Когда мы объединяем \(k\) единиц в число \(\underbrace{11…1}_{k}\), оно:
- Использует \(k\) единиц из \(n\)
- Вносит в сумму значение \(\frac{10^k — 1}{9}\)
Обозначения:
\(x_2\) — количество двоек (число 11)
\(x_3\) — количество троек (число 111)
\(x_k\) — количество чисел из \(k\) единиц
Система уравнений:
\(1 \cdot x_1 + 2 \cdot x_2 + 3 \cdot x_3 + … = n\)
По сумме:
\(1 \cdot x_1 + 11 \cdot x_2 + 111 \cdot x_3 + … = 141\)
Вычтем первое уравнение из второго:
\(0 \cdot x_1 + 9 \cdot x_2 + 108 \cdot x_3 + 1107 \cdot x_4 + … = 141 — n\)
\(9(x_2 + 12x_3 + 123x_4 + …) = 141 — n\)
🎯 Важный вывод
\(141 — n\) должно делиться на 9!
\(141 \equiv 6 \pmod{9}\), значит \(n \equiv 6 \pmod{9}\)
Можно ли получить сумму 141 при n = 60?
Проверяем делимость:
\(81 \div 9 = 9\) — делится без остатка ✓
Конструируем пример:
Возьмём \(x_3 = 0\), \(x_2 = 9\) (девять чисел «11»)
Они используют: \(9 \times 2 = 18\) единиц
Вносят в сумму: \(9 \times 11 = 99\)
Осталось: \(141 — 99 = 42\) (единицами)
Осталось единиц: \(60 — 18 = 42\) ✓
Пример расстановки:
Всего единиц: \(18 + 42 = 60\) ✓
Пример: 9 чисел «11» и 42 числа «1»
Можно ли получить сумму 141 при n = 80?
Проверяем делимость:
\(61 \div 9 = 6,77…\) — не делится! ✗
Проверка по модулю 9:
\(80 \equiv 8 \pmod{9}\)
\(6 \not\equiv 8 \pmod{9}\) ❌
141 — 80 = 61 не делится на 9
Для скольких значений n можно получить сумму 141?
🎯 Стратегия
Нужно найти все \(n\), удовлетворяющие условиям:
- \(n \equiv 6 \pmod{9}\)
- \(n_{min} \leq n \leq n_{max}\)
Находим максимальное n:
\(1 + 1 + … + 1 = 141\)
\(n_{max} = 141\)
Находим минимальное n:
\(141 = 111 + 11 + 11 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1\)
Единиц использовано: \(3 + 2 + 2 + 8 = 15\)
\(n_{min} = 15\)
Находим все значения n:
Возможные значения:
15, 24, 33, 42, 51, 60, 69, 78, 87, 96, 105, 114, 123, 132, 141
Подсчёт количества:
Первый член: \(a_1 = 15\)
Последний член: \(a_k = 141\)
Разность: \(d = 9\)
\(a_k = a_1 + (k-1)d\)
\(141 = 15 + (k-1) \cdot 9\)
\(126 = (k-1) \cdot 9\)
\(k-1 = 14\)
\(k = 15\)
| № | Значение n | Проверка |
|---|---|---|
| 1 | 15 | ✓ |
| 2 | 24 | ✓ |
| 3 | 33 | ✓ |
| 4 | 42 | ✓ |
| 5 | 51 | ✓ |
| 6 | 60 | ✓ |
| 7 | 69 | ✓ |
| 8 | 78 | ✓ |
| 9 | 87 | ✓ |
| 10 | 96 | ✓ |
| 11 | 105 | ✓ |
| 12 | 114 | ✓ |
| 13 | 123 | ✓ |
| 14 | 132 | ✓ |
| 15 | 141 | ✓ |
Все значения от 15 до 141 с шагом 9
📝 Итоговый ответ
💡 Советы для ЕГЭ
1. Для задач на цифры и суммы используйте систему уравнений по количеству цифр и по сумме
2. Вычитание уравнений часто даёт важное условие делимости
3. Для подсчёта количества значений используйте формулу арифметической прогрессии
4. Всегда проверяйте границы диапазона (минимальное и максимальное n)