Решаем варианты. 2026П-18

От /
ЕГЭ 2026 Математика — Профильный уровень | Тренировочный вариант №18

📚 ЕГЭ 2026 Математика

Профильный уровень | Тренировочный вариант №18

0
Правильных
19
Всего
0%
Результат
03:55:00
Прогресс: 0/19

🎉 Тест завершён!

Ваш результат: 0 из 19 баллов

💾 Прогресс сохранён

Дополнительно

Variant_18_EGE_profil_s_otvetamiСкачать
Задача 19 ЕГЭ: Вася и Петя перемножают числа

Задание 19 | Теория чисел

📋 Условие задачи

Вася перемножил несколько различных натуральных чисел из отрезка [23; 84]. Петя увеличил каждое из Васиных чисел на 1 и перемножил все полученные числа.

а) Может ли Петин результат быть ровно вдвое больше Васиного?

б) Может ли Петин результат быть ровно в 6 раз больше Васиного?

в) В какое наибольшее целое число раз Петин результат может быть больше Васиного?

🔍 Подробное решение

💡 Обозначения

Пусть Вася выбрал числа: \(a_1, a_2, …, a_k\)

где \(23 \leq a_i \leq 84\) и все \(a_i\) различны

Васин продукт: \(V = a_1 \cdot a_2 \cdot … \cdot a_k\)

Петин продукт: \(P = (a_1+1) \cdot (a_2+1) \cdot … \cdot (a_k+1)\)

Отношение: \(R = \frac{P}{V} = \prod_{i=1}^{k} \frac{a_i+1}{a_i} = \prod_{i=1}^{k} \left(1 + \frac{1}{a_i}\right)\)

Пункт а)

Может ли отношение быть равным 2?

1

Рассмотрим случай последовательных чисел:

Если Вася выбрал числа от 23 до \(n\):
\(V = 23 \cdot 24 \cdot 25 \cdot … \cdot n\)
\(P = 24 \cdot 25 \cdot 26 \cdot … \cdot (n+1)\)
2

Вычислим отношение для последовательных чисел:

\(R = \frac{24 \cdot 25 \cdot … \cdot (n+1)}{23 \cdot 24 \cdot … \cdot n} = \frac{n+1}{23}\)

Все промежуточные множители сокращаются!
3

Найдём \(n\) для отношения 2:

\(\frac{n+1}{23} = 2\)
\(n+1 = 46\)
\(n = 45\)
4

Проверка:

Числа: \(23, 24, 25, …, 45\) (23 числа)
Все числа в диапазоне [23; 84] ✓
Отношение: \(\frac{46}{23} = 2\) ✓
✅ ДА, может

Пример: числа от 23 до 45

Пункт б)

Может ли отношение быть равным 6?

1

Для последовательных чисел от 23 до \(n\):

\(R = \frac{n+1}{23} = 6\)
\(n+1 = 138\)
\(n = 137\)
2

Проблема:

\(137 > 84\) — выходит за пределы диапазона! ❌
3

Максимальное возможное отношение:

При использовании всех чисел от 23 до 84:
\(R_{max} = \frac{85}{23} \approx 3,696\)
4

Почему последовательные числа дают максимум?

Для любых чисел: \(R = \prod_{i=1}^{k} \frac{a_i+1}{a_i}\)

При последовательных чисел происходит телескопическое сокращение
При пропуске чисел сокращение меньше → отношение меньше
Диапазон Отношение Возможно?
23 до 45 46/23 = 2 ✓
23 до 68 69/23 = 3 ✓
23 до 84 (максимум) 85/23 ≈ 3,696 ✓
Для отношения 6 Нужно до 137 ✗
❌ НЕТ, не может

Максимальное отношение ≈ 3,696 < 6

Пункт в)

Наибольшее целое отношение

🎯 Ключевая идея

Максимальное отношение достигается при использовании всех последовательных чисел от 23 до 84

1

Максимальное возможное отношение:

\(R_{max} = \frac{85}{23} \approx 3,696\)
2

Наибольшее целое значение, не превышающее 3,696:

\(\lfloor 3,696 \rfloor = 3\)
3

Проверим, можно ли получить ровно 3:

\(\frac{n+1}{23} = 3\)
\(n+1 = 69\)
\(n = 68\)
4

Проверка:

Числа: \(23, 24, 25, …, 68\) (46 чисел)
Все числа в диапазоне [23; 84] ✓
Отношение: \(\frac{69}{23} = 3\) ✓
5

Почему нельзя получить 4?

Для отношения 4 нужно: \(\frac{n+1}{23} = 4\)
\(n = 91 > 84\) — невозможно! ❌
🏆 Максимум: 3

Пример: числа от 23 до 68

📝 Итоговый ответ

а) да
б) нет
в) 3

💡 Советы для ЕГЭ

1. Для задач на произведения рассматривайте последовательные числа — они дают телескопическое сокращение

2. Всегда проверяйте границы диапазона при подборе чисел

3. Максимальное отношение достигается при максимальном количестве чисел

4. Для целых значений отношения проверяйте делимость конечного результата

Прокрутить вверх