📚 ЕГЭ 2026 Математика
Профильный уровень | Тренировочный вариант №19
🎉 Тест завершён!
Ваш результат: 0 из 19 баллов
Дополнительно
Задача 19
Условие: На доске написано 30 различных натуральных чисел. Каждое число оканчивается либо на цифру 4, либо на цифру 8. Сумма всех чисел равна 2786.
Вопросы:
- а) Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающихся на 4 и на 8? (по 15 штук)
- б) Может ли ровно 4 числа оканчиваться на 8?
- в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 8, может быть?
4, 14, 24, 34, … — каждое следующее на 10 больше.
Если оканчивается на 8: 8, 18, 28, 38, … — тоже шаг 10.
🔍 Пункт (а) — поровну (15 и 15)
Если бы было поровну — 15 чисел, оканчивающихся на 4, и 15 чисел, оканчивающихся на 8, то чему равна сумма последних цифр?
У чисел на 4 последняя цифра — 4, у чисел на 8 — последняя цифра 8.
Сумма всех чисел — 2786. Тогда 2786 — 180 = 2606. Но 2606 нацело не делится на 10, значит, такого быть не может.
👉 Поэтому поровну быть не может.
Ответ на (а): НЕТ
🔍 Пункт (б) — ровно 4 числа оканчиваются на 8
Пусть x — количество чисел, оканчивающихся на 4, а y — количество чисел, оканчивающихся на 8.
Всего: x + y = 30. Если y = 4, то x = 26.
Проверим по последним цифрам
Сумма последних цифр: 26·4 + 4·8 = 104 + 32 = 136.
2876-136=2740. Значит, по последним цифрам — подходит.
Но можно ли подобрать сами числа?
Чтобы сумма была как можно меньше, надо взять самые маленькие числа из каждой группы. Давайте посчитаем эту минимальную возможную сумму для x = 26 и y = 4.
Для чисел на 4: берём 26 наименьших: 4, 14, 24, …, последнее будет 4 + (26-1)·10 = 4 + 250 = 254.
Сумма арифметической прогрессии:
Для чисел на 8: берём 4 наименьших: 8, 18, 28, 38.
Сумма S₈ = 8 + 18 + 28 + 38 = 92.
Минимальная общая сумма: 3354 + 92 = 3446. Это намного больше, чем нужные 2786.
А если брать не минимальные числа, сумма станет ещё больше. Значит, достичь 2786 никак не получится.
👉 Поэтому 4 числа на 8 быть не может.
Ответ на (б): НЕТ
🔍 Пункт (в) — наименьшее возможное количество чисел, оканчивающихся на 8
Пусть y — число чисел на 8, тогда x = 30 – y — число чисел на 4.
Шаг 1. Связь через последние цифры
Сумма последних цифр всех чисел = 4x + 8y = 4(30 – y) + 8y = 120 – 4y + 8y = 120 + 4y.
Эта сумма должна давать последнюю цифру 6, потому что 2786 оканчивается на 6. То есть:
4y ≡ 6 (mod 10)
- y=4 → 4·4=16→6 mod10 ✅
- y=9 → 36→6 mod10 ✅
- y=14 → 56→6 ✅
- y=19 → 76→6 ✅
- y=24 → 96→6 ✅
- y=29 →116→6 ✅
Итак, возможные значения y (от 0 до 30): 4, 9, 14, 19, 24, 29. (x соответственно 26, 21, 16, 11, 6, 1)
Шаг 2. Найдём минимальную сумму для каждого варианта
Как считаем: Берём самые маленькие числа из каждой группы. Для группы из m чисел, оканчивающихся на 4, это арифметическая прогрессия: первый член = 4, шаг = 10, количество = m.
Для группы из n чисел, оканчивающихся на 8, прогрессия: первый член = 8, шаг = 10, количество = n.
Проверим для маленьких n:
- n=1: 4 → 1·(5·1 – 1) = 4 ✅
- n=2 (4,14): сумма 18, формула 2·(10–1)=18 ✅
- n=1 для 8: 1·(5·1+3)=8 ✅
- n=2 (8,18): сумма 26, формула 2·(10+3)=26 ✅
Посчитаем минимальные суммы для каждого возможного y:
| y | x = 30–y | S₄ = x(5x–1) | S₈ = y(5y+3) | Общая min сумма |
|---|---|---|---|---|
| 4 | 26 | 26·(130–1)=26·129=3354 | 4·(20+3)=4·23=92 | 3446 |
| 9 | 21 | 21·(105–1)=21·104=2184 | 9·(45+3)=9·48=432 | 2616 |
| 14 | 16 | 16·(80–1)=16·79=1264 | 14·(70+3)=14·73=1022 | 2286 |
| 19 | 11 | 11·(55–1)=11·54=594 | 19·(95+3)=19·98=1862 | 2456 |
| 24 | 6 | 6·(30–1)=6·29=174 | 24·(120+3)=24·123=2952 | 3126 |
| 29 | 1 | 1·(5–1)=4 | 29·(145+3)=29·148=4292 | 4296 |
Шаг 3. Какое y наименьшее из возможных?
Из списка возможных y (9, 14, 19) нам нужно минимальное y, для которого можно набрать сумму ровно 2786.
При y=4 минимальная сумма 3446 > 2786 — даже если брать самые маленькие числа, уже перебор.
При y=9 минимальная сумма 2616 < 2786 — до нужной суммы не хватает 170. Эту разницу можно покрыть, заменив некоторые из выбранных минимальных чисел на бóльшие (с шагом 10), при этом числа останутся разными. Например, можно некоторые числа из группы на 4 или на 8 увеличить на 10, 20 и т.д., распределив добавку 170 так, чтобы не выйти за пределы доступных различных чисел. Это всегда возможно.
Значит, y = 9 подходит. Меньше y (т.е. 4) не подходит. Таким образом, наименьшее возможное y = 9.
а) НЕТ
б) НЕТ
в) 9