📚 ЕГЭ 2026 Математика
Профильный уровень | Тренировочный вариант №2
🎉 Тест завершён!
Ваш результат: 0 из 19 баллов
Дополнительно
Тренировочный вариант №9 | Задание 19
📋 Условие задачи
Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 13 раз больше, либо в 13 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 3345.
а) Может ли последовательность состоять из двух членов?
б) Может ли последовательность состоять из трёх членов?
в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?
🔍 Подробное решение
💡 Ключевая идея
Обозначим первый член последовательности как \(a_1\). Каждый следующий член либо умножается на 13, либо делится на 13.
Может ли последовательность состоять из двух членов?
Пусть последовательность: \(a_1, a_2\)
Возможны два случая:
Сумма: \(a_1 + 13a_1 = 14a_1 = 3345\)
\(a_1 = \frac{3345}{14} \approx 238,93\) — не натуральное ❌
Сумма: \(13a_2 + a_2 = 14a_2 = 3345\)
\(a_2 = \frac{3345}{14} \approx 238,93\) — не натуральное ❌
3345 не делится на 14
Может ли последовательность состоять из трёх членов?
Пусть последовательность: \(a_1, a_2, a_3\)
Рассмотрим вариант: \(a_1 = a, a_2 = 13a, a_3 = a\)
\(a = \frac{3345}{15} = 223\) — натуральное ✅
Проверка последовательности: \(223; 2899; 223\)
Переходы: \(223 \times 13 = 2899\), \(2899 \div 13 = 223\) ✅
Пример: 223; 2899; 223
Наибольшее количество членов
🎯 Стратегия
Для максимизации количества членов нужно использовать наименьшие возможные значения: \(1\) и \(13\)
Идеальная последовательность чередует 1 и 13:
Пусть \(k\) — количество единиц, \(m\) — количество тринадцаток
\(1 \cdot k + 13 \cdot m = 3345\)
\(k + 13m = 3345\)
Общее количество членов: \(n = k + m\)
Из уравнения: \(k = 3345 — 13m\)
Тогда: \(n = 3345 — 13m + m = 3345 — 12m\)
Для максимизации \(n\) нужно минимизировать \(m\), но соблюсти чередование:
• Начинается на 1, заканчивается на 1: \(k = m + 1\)
• Начинается на 1, заканчивается на 13: \(k = m\)
• Начинается на 13, заканчивается на 1: \(k = m\)
• Начинается на 13, заканчивается на 13: \(k = m — 1\)
Подставляем в уравнение \(k + 13m = 3345\):
2) \(k = m\): \(14m = 3345 \Rightarrow m = 238,93\) ❌
3) \(k = m — 1\): \(14m — 1 = 3345 \Rightarrow 14m = 3346 \Rightarrow m = 239\) ✅
При \(m = 239\):
\(n = k + m = 238 + 239 = 477\)
Проверка:
Последовательность: \(13; 1; 13; 1; …; 1; 13\) (477 членов) ✅
Максимальное количество при чередовании 1 и 13
📝 Итоговый ответ
💡 Советы для ЕГЭ
1. Всегда проверяйте делимость суммы на коэффициент последовательности.
2. Для максимизации длины используйте минимальные значения (1 и 13).
3. Учитывайте все варианты чередования при подсчёте количества членов.
4. Не забывайте проверять, что все числа натуральные (≥ 1).