Решаем варианты. 2026П-20

От /
ЕГЭ 2026 Математика — Профильный уровень | Тренировочный вариант №20

📚 ЕГЭ 2026 Математика

Профильный уровень | Тренировочный вариант №20

0
Правильных
19
Всего
0%
Результат
03:55:00
Прогресс: 0/19

🎉 Тест завершён!

Ваш результат: 0 из 19 баллов

💾 Прогресс сохранён

Дополнительно

Variant_20_EGE_profil_s_otvetamiСкачать
Задача про последовательность и средние арифметические

Задача 19

📘 Теоретическая справка

Основные понятия:

  • Среднее арифметическое набора чисел — сумма чисел, делённая на их количество.
  • Неотрицательные однозначные числа — целые числа от 0 до 9 включительно.
  • Сумма последовательности \(S = a_1 + a_2 + \dots + a_n\) — ключевая величина, через которую выражаются все средние.

Ключевая идея решения:

Если \(M_k\) — среднее арифметическое всех членов, кроме \(k\)-го, то:

\[ M_k = \frac{S — a_k}{n-1} \]

где \(n\) — длина последовательности (в нашей задаче \(n = 6\)).

Зная два таких средних, можно составить систему уравнений и найти связь между соответствующими элементами, а также выразить \(S\) через один из них.

Метод решения:

  1. Записать данные условия в виде уравнений относительно \(S\) и \(a_i\).
  2. Выразить \(S\) и соотношения между \(a_i\).
  3. Использовать ограничения \(0 \le a_i \le 9\) для поиска возможных значений.
  4. Для нахождения экстремумов \(M_k\) выразить его через \(S\) и \(a_k\), затем варьировать \(a_k\) в допустимых пределах.

Важное замечание: числа в последовательности могут повторяться, если не указано обратное. В данной задаче повторения разрешены.

📌 Условие задачи

Последовательность \(a_1, a_2, \ldots, a_6\) состоит из неотрицательных однозначных чисел. Пусть \(M_k\) — среднее арифметическое всех членов этой последовательности, кроме \(k\)-го. Известно, что \(M_1 = 7\), \(M_2 = 6\).

  • а) Приведите пример такой последовательности, для которой \(M_3 = 6,4\).
  • б) Существует ли такая последовательность, для которой \(M_3 = 5\)?
  • в) Найдите наименьшее возможное значение \(M_3\).

🔢 Шаг 1. Запись условий в виде уравнений

Обозначим сумму всех шести чисел:

\(S = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6\)

По определению:

\[ M_1 = \frac{S — a_1}{5} = 7 \quad \Rightarrow \quad S — a_1 = 35 \tag{1} \] \[ M_2 = \frac{S — a_2}{5} = 6 \quad \Rightarrow \quad S — a_2 = 30 \tag{2} \]

🧩 Шаг 2. Находим связь между \(a_1\) и \(a_2\) и значение \(S\)

Вычтем (2) из (1):

\[ (S — a_1) — (S — a_2) = 35 — 30 \Rightarrow -a_1 + a_2 = 5 \Rightarrow a_2 = a_1 + 5 \]

Так как \(0 \le a_i \le 9\), возможны пары:

\[ (a_1, a_2) = (0,5),\ (1,6),\ (2,7),\ (3,8),\ (4,9) \]

Из (1): \(S = 35 + a_1\).

📐 Шаг 3. Выражение для \(M_3\)

\[ M_3 = \frac{S — a_3}{5} = \frac{35 + a_1 — a_3}{5} \]

где \(a_3\) может быть любым целым от 0 до 9 (повторения разрешены).

🔍 Шаг 4. Пункт (а): пример с \(M_3 = 6,4\)

\(6,4 = \frac{32}{5}\). Подставим в формулу для \(M_3\):

\[ \frac{35 + a_1 — a_3}{5} = \frac{32}{5} \Rightarrow 35 + a_1 — a_3 = 32 \Rightarrow a_3 = a_1 + 3 \]

Возьмём, например, \(a_1 = 0\). Тогда \(a_2 = 5\), \(a_3 = 3\).

\(S = 35 + 0 = 35\). Сумма оставшихся трёх чисел: \(a_4 + a_5 + a_6 = 35 — (0+5+3) = 27\).

Подберём, например, \(a_4 = 9, a_5 = 9, a_6 = 9\).

Последовательность: \((0, 5, 3, 9, 9, 9)\).

Проверка:

  • \(M_1 = (5+3+9+9+9)/5 = 35/5 = 7\) ✓
  • \(M_2 = (0+3+9+9+9)/5 = 30/5 = 6\) ✓
  • \(M_3 = (0+5+9+9+9)/5 = 32/5 = 6,4\) ✓

Вывод: пример построен.

Ответ на (а): \((0, 5, 3, 9, 9, 9)\) (подойдёт любой пример, удовлетворяющий условию).

🔍 Шаг 5. Пункт (б): существует ли \(M_3 = 5\)?

Подставим \(M_3 = 5\) в формулу:

\[ \frac{35 + a_1 — a_3}{5} = 5 \Rightarrow 35 + a_1 — a_3 = 25 \Rightarrow a_3 = a_1 + 10 \]

Но \(a_3 \le 9\), \(a_1 \ge 0\), значит \(a_1 + 10 \le 9 \Rightarrow a_1 \le -1\) — невозможно.

Вывод: такой последовательности не существует.

Ответ на (б): Нет.

🔍 Шаг 6. Пункт (в): наименьшее возможное \(M_3\)

Формула: \(M_3 = \frac{35 + a_1 — a_3}{5}\).

Чтобы минимизировать \(M_3\), нужно максимизировать \(a_3\) и минимизировать \(a_1\) (с учётом \(a_2 = a_1 + 5 \le 9\)).

Минимальное \(a_1 = 0\) (тогда \(a_2 = 5\)). Максимальное \(a_3 = 9\).

Подставляем:

\[ M_3^{\min} = \frac{35 + 0 — 9}{5} = \frac{26}{5} = 5.2 \]

Проверим достижимость:

  • \(a_1 = 0, a_2 = 5, a_3 = 9\)
  • \(S = 35\), сумма \(a_4 + a_5 + a_6 = 35 — (0+5+9) = 21\)
  • Например, \(a_4 = 7, a_5 = 7, a_6 = 7\) (все однозначные).

Последовательность: \((0, 5, 9, 7, 7, 7)\) даёт \(M_3 = 5.2\).

Вывод: наименьшее возможное значение \(M_3\) равно \(5.2\).

Ответ на (в): \(5.2\)

✅ Итоговые ответы

  • а) Пример: \((0, 5, 3, 9, 9, 9)\) (или любой другой, удовлетворяющий условию)
  • б) Нет
  • в) 5.2
Прокрутить вверх