Решаем варианты. 2026П-3

От /
ЕГЭ 2026 Математика — Профильный уровень | Тренировочный вариант №3

📚 ЕГЭ 2026 Математика

Профильный уровень | Тренировочный вариант №3

0
Правильных
19
Всего
0%
Результат
03:55:00
Прогресс: 0/19

🎉 Тест завершён!

Ваш результат: 0 из 19 баллов

💾 Прогресс сохранён

Дополнительно

Variant_3_EGE_profil_s_otvetamiСкачать
Разбор сложной задачи: среднее арифметическое 12 чисел

Задача 19

📘 Теоретическая справка

Натуральные числа — числа, используемые для счёта (\(1, 2, 3, \dots\)). В задачах часто требуется учитывать их различность (все числа попарно различны) и минимальные/максимальные возможные суммы при заданных ограничениях.

Среднее арифметическое набора чисел — это сумма чисел, делённая на их количество. Обозначается обычно как \(\overline{x}\).

Ключевой приём: если числа упорядочены по возрастанию \(a_1 < a_2 < \dots < a_n\), то для группы чисел, входящих в несколько условий, удобно вводить промежуточные суммы (например, \(Y = a_6 + a_7\)), чтобы связать все условия в единую систему.

Оценка сумм: для минимизации суммы нескольких различных натуральных чисел, больших некоторого порога, их нужно брать минимально возможными (последовательными). Для максимизации — максимально возможными (с учётом ограничений сверху).

📌 Условие задачи

На доске написано 12 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое семи наименьших из них равно 8, а среднее арифметическое семи наибольших равно 16.

  • а) Может ли наибольшее из этих двенадцати чисел равняться 18?
  • б) Может ли среднее арифметическое всех двенадцати чисел равняться 11?
  • в) Найдите наименьшее значение среднего арифметического всех двенадцати чисел.

🔢 Шаг 1. Формализация и обозначения

Расположим числа в порядке возрастания:

\(a_1 < a_2 < a_3 < \dots < a_{12}\)

Условие 1: Среднее семи наименьших (\(a_1 \dots a_7\)) равно 8:

\[\frac{a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7}{7} = 8 \quad \Rightarrow \quad S_7 = a_1+\dots+a_7 = 56 \qquad (1)\]

Условие 2: Среднее семи наибольших (\(a_6 \dots a_{12}\)) равно 16:

\[\frac{a_6 + a_7 + a_8 + a_9 + a_{10} + a_{11} + a_{12}}{7} = 16 \quad \Rightarrow \quad T_7 = a_6+\dots+a_{12} = 112 \qquad (2)\]

Числа натуральные и различные.

🧩 Шаг 2. Удобная группировка

Разобьём числа на три группы:

  • \(X = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5\) (первые пять)
  • \(Y = a_6 + a_7\) (два «центральных» числа, входящие в обе семёрки)
  • \(Z = a_8 + a_9 + a_{10} + a_{11} + a_{12}\) (последние пять)

Из (1): \(X + Y = 56\)

Из (2): \(Y + Z = 112\)

Сложим эти уравнения:

\[X + 2Y + Z = 168\]

Но \(X + Y + Z\) — это сумма всех 12 чисел, обозначим её \(S_{12}\). Тогда:

\[S_{12} = 168 — Y \quad \text{или} \quad Y = 168 — S_{12} \qquad (3)\]

Это ключевое соотношение: сумма двух «центральных» чисел \(Y\) напрямую связана с общей суммой.

🔍 Шаг 3. Пункт (а): может ли \(a_{12} = 18\)?

Рассуждение: Если \(a_{12} = 18\), то \(a_6 \dots a_{11}\) должны быть меньше 18 и различны. Найдём максимально возможную сумму \(T_7\) при таком ограничении.

Самые большие возможные значения (чтобы сумма была максимальной): \(a_{11}=17,\ a_{10}=16,\ a_9=15,\ a_8=14,\ a_7=13,\ a_6=12\). Тогда:

\[T_7^{\max} = 12+13+14+15+16+17+18 = 105\]

Но по условию (2) \(T_7\) должно быть равно 112. Так как \(105 < 112\), требуемая сумма недостижима.

Вывод: \(a_{12}\) не может равняться 18.

Ответ на (а): Нет.

🔍 Шаг 4. Пункт (б): может ли среднее всех чисел = 11?

Рассуждение: Если среднее всех 12 чисел равно 11, то \(S_{12} = 12 \cdot 11 = 132\). Из (3): \(Y = 168 — 132 = 36\).

Из (1): \(X = 56 — 36 = 20\) (сумма первых пяти).

Из (2): \(Z = 112 — 36 = 76\) (сумма последних пяти).

Оценим минимально возможную сумму \(Z\) при заданном \(a_7\). Так как \(a_8 \dots a_{12} > a_7\), минимальный набор — последовательные числа: \(a_7+1,\ a_7+2,\ \dots,\ a_7+5\). Их сумма:

\[Z_{\min} = 5a_7 + 15\]

Подставляем \(Z = 76\):

\[5a_7 + 15 \le 76 \Rightarrow 5a_7 \le 61 \Rightarrow a_7 \le 12\]

Но если \(a_7 \le 12\) и \(a_6 < a_7\), то максимальная сумма \(Y\) при таких \(a_7\) равна \(11+12 = 23\), что меньше требуемого \(Y=36\). Противоречие.

Вывод: среднее не может быть равно 11.

Ответ на (б): Нет.

🔍 Шаг 5. Пункт (в): наименьшее возможное среднее

Из (3): \(S_{12} = 168 — Y\). Чтобы среднее \(S_{12}/12\) было минимальным, нужно максимизировать \(Y = a_6 + a_7\).

Ограничения на \(Y\):

  1. Из \(S_7 = 56\): \(X = 56 — Y\). Минимальная сумма пяти наименьших натуральных чисел: \(1+2+3+4+5=15\). Значит:
    \[56 — Y \ge 15 \Rightarrow Y \le 41\]
  2. Из \(T_7 = 112\) и оценки \(Z_{\min}\): \(Z = 112 — Y\). Минимальная сумма пяти чисел, больших \(a_7\):
    \[112 — Y \ge 5a_7 + 15\]
  3. Связь \(a_6\) и \(a_7\): для максимизации \(Y\) при фиксированном \(a_7\) берём \(a_6 = a_7 — 1\) (максимально возможное \(a_6\), меньшее \(a_7\)). Тогда:
    \[Y = (a_7-1) + a_7 = 2a_7 — 1\]

Подставим \(Y = 2a_7 — 1\) в неравенство из п.2:

\[112 — (2a_7 — 1) \ge 5a_7 + 15\]
\[113 — 2a_7 \ge 5a_7 + 15\]
\[98 \ge 7a_7\]
\[a_7 \le 14\]

Максимальное \(a_7 = 14\). Тогда максимальное \(Y = 2\cdot14 — 1 = 27\).

Проверка достижимости \(Y = 27\):

  • \(a_6 = 13,\ a_7 = 14\) (сумма 27).
  • \(X = 56 — 27 = 29\). Подберём 5 чисел меньше 13 с суммой 29: например, \(3,4,5,8,9\) (сумма 29).
  • \(Z = 112 — 27 = 85\). Минимальный набор чисел больше 14: \(15,16,17,18,19\) — их сумма ровно 85.

Все условия выполнены, числа различны.

Тогда минимальная сумма всех 12 чисел:

\[S_{12}^{\min} = 168 — 27 = 141\]

Минимальное среднее:

\[\frac{141}{12} = 11.75\]

Ответ на (в): 11.75

✅ Итоговые ответы

  • а) Нет
  • б) Нет
  • в) 11.75
Прокрутить вверх