📌 Общие ограничения

Сумма всех цифр: 0+1+2+3+5+7+9 = 27.

Пусть \( S_4 \) — сумма цифр четырёхзначного числа, \( S_3 \) — трёхзначного. Тогда:

Так как каждое число кратно 9, то \( S_4 \) и \( S_3 \) делятся на 9. Возможны варианты:

• (18, 9) — четырёхзначное 18, трёхзначное 9
• (9, 18) — четырёхзначное 9, трёхзначное 18

Последние цифры: у одного числа 0, у другого 5 (иначе нельзя использовать обе эти цифры и обеспечить кратность 5 обоим).

✅ а) Может ли сумма быть 2205?

Предположим, мы нашли пару чисел ABCD (4‑знач.) + EFG (3‑знач.) = 2205.

Подберём пример, чтобы доказать возможность.

Попробуем: четырёхзначное = 1935, трёхзначное = 270.

• 1935: сумма цифр 1+9+3+5 = 18 (кратно 9), оканчивается на 5 (кратно 5) ✅
• 270: сумма цифр 2+7+0 = 9 (кратно 9), оканчивается на 0 (кратно 5) ✅
• Цифры: 1,9,3,5,2,7,0 — все использованы, все разные ✅

Сумма: 1935 + 270 = 2205.

Значит, такая пара существует.

✅ Ответ на (а): ДА

❌ б) Может ли сумма быть 3435?

Допустим, ABCD + EFG = 3435. Рассмотрим сложение в столбик:

       ABCD
     +  EFG
     -----
       3435
    

Анализ разрядов:

Единицы: D + G = 5. D и G — это цифры {0,5} в каком-то порядке. Проверим оба варианта:

• Если D=0, G=5: сумма 5, переноса нет.
• Если D=5, G=0: сумма 5, переноса нет.

Десятки: C + F = 3. Возможные пары с суммой 3: (1,2).

Сотни: B + E = 4 (переноса нет). Без 0,5,1,2 остаются {3,7,9}. Из них получить сумму 4 невозможно (минимальная сумма 3+7=10).

Вывод: сотни не могут дать 4. Нет решений.

✅ Ответ на (б): НЕТ

📈 в) Наибольшая возможная сумма

Чтобы сумма была максимальной, нужно в четырёхзначное число поставить самые большие цифры в старшие разряды, но с учётом:

• одно число оканчивается на 0, другое на 5;
• суммы цифр (18 и 9) должны соблюдаться.

🔹 Вариант 1: четырёхзначное оканчивается на 0 (сумма его цифр 18)

Трёхзначное оканчивается на 5 (сумма его цифр 9).

Для четырёхзначного: первые три цифры дают сумму 18, последняя 0. Выбираем максимально возможные первые три цифры из оставшихся (без 5, потому что 5 у трёхзначного). Остаются {9,7,3,2,1}. Комбинации с суммой 18: 9+7+2=18 — идеально. Первые три цифры: 9,7,2 ⇒ число 9720.

Трёхзначное: последняя 5, первые две — оставшиеся цифры {3,1} с суммой 9−5=4: 3+1=4 ⇒ число 315 (или 135, но 315 больше).

Сумма: 9720 + 315 = 10035.

🔹 Вариант 2: четырёхзначное оканчивается на 5 (сумма цифр 18)

Трёхзначное оканчивается на 0 (сумма цифр 9).

Четырёхзначное: последняя 5, первые три цифры в сумме 13. Берём наибольшие возможные из {9,7,3,2,1,0} (но 0 уйдёт в трёхзначное). Комбинации с суммой 13: 9+3+1=13 — даёт число 9315.

Трёхзначное: последняя 0, первые две — оставшиеся {7,2} сумма 9−0=9 ⇒ 7+2=9 — число 720.

Сумма: 9315 + 720 = 10035 — та же самая.

✅ Максимальная сумма = 10035