📌 Как выглядят наши числа?

Число оканчивается на 6, значит его можно записать как \(10k + 6\).

Оно делится на 3, значит сумма цифр делится на 3. Но проще заметить закономерность:

Выпишем первые такие числа: 6, 36, 66, 96, 126, 156, 186, 216, 246, 276, 306, …

Видно, что все они получаются так:

Проверим: при \(m=0\): 6, \(m=1\): 36, \(m=2\): 66 — да, всё верно.

30m делится на 3, 6 делится на 3, и любое такое число оканчивается на 6.

🧮 Сумма нескольких таких чисел

Если мы взяли \(k\) различных чисел, то у каждого своё \(m_i\). Сумма:

Обозначим \(M = m_1 + m_2 + \dots + m_k\). Тогда:

Все \(m_i\) — целые неотрицательные и различные (потому что числа разные).

✅ а) Может ли сумма быть 198?

Подставляем \(S = 198\):

Нужно подобрать целые \(k \ge 1\) и \(M\) так, чтобы \(M\) можно было представить суммой \(k\) различных целых неотрицательных чисел.

Перебираем \(k\):

• \(k=1\): \(5M + 1 = 33 \Rightarrow 5M = 32\) — не целое ❌
• \(k=2\): \(5M = 31\) — не целое ❌
• \(k=3\): \(5M = 30 \Rightarrow M = 6\) ✅

При \(k=3\) минимальная сумма трёх разных \(m_i\) это \(0+1+2=3\). Нам нужно \(M=6\) — достижимо, например \(0+2+4=6\).

Тогда числа: \(m=0 \to 6,\ m=2 \to 66,\ m=4 \to 126\). Сумма \(6+66+126 = 198\).

Значит, да, может.

✅ Ответ на (а): ДА

❌ б) Может ли сумма быть 270?

Подставляем \(S = 270\):

Отсюда \(5M = 45 — k\) ⇒ \(45-k\) должно делиться на 5 ⇒ \(k\) кратно 5.

Проверяем возможные \(k\):

• \(k=5\): \(5M = 40 \Rightarrow M = 8\). Минимальная сумма пяти разных \(m_i\): \(0+1+2+3+4 = 10\). \(M=8 < 10\) — невозможно ❌
• \(k=10\): \(5M = 35 \Rightarrow M = 7\). Минимальная сумма \(0+1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45\) — уже \(M=7\) невозможно ❌
• \(k=15\) и больше — \(M\) будет ещё меньше, а минимальная сумма расти — невозможно.

Никакое \(k\) не подходит. Значит, нет.

✅ Ответ на (б): НЕТ

📈 в) Наибольшее количество чисел при сумме 1518

Подставляем \(S = 1518\):

\(M\) должно быть целым ⇒ \(253 — k\) кратно 5 ⇒ \(k \equiv 3 \pmod{5}\) (потому что 253 mod 5 = 3).

Возможные \(k\): 3, 8, 13, 18, … Но чем больше \(k\), тем меньше \(M\), а минимальная сумма \(m_i\) растёт.

Минимальная сумма \(k\) различных неотрицательных чисел = \(0+1+2+\dots+(k-1) = \frac{k(k-1)}{2}\).

Должно быть: \(M \ge \frac{k(k-1)}{2}\).

Подставляем \(M = \frac{253 — k}{5}\):

Домножим на 10: \(2(253 — k) \ge 5k(k-1)\)

\(506 — 2k \ge 5k^2 — 5k\)

\(0 \ge 5k^2 — 3k — 506\)

Решаем квадратное уравнение \(5k^2 — 3k — 506 = 0\):

Дискриминант \(D = 9 + 4\cdot5\cdot506 = 9 + 10120 = 10129\).

\(\sqrt{10129} \approx 100.64\) (так как \(100^2 = 10000\), \(101^2 = 10201\)).

Корни: \(k = \frac{3 \pm 100.64}{10}\). Положительный: \(k \approx \frac{103.64}{10} = 10.364\).

Значит, \(k \le 10\) (при \(k=11\) неравенство нарушится).

Перебираем \(k\), кратные 5 с остатком 3, не больше 10: \(k = 3, 8\).

• \(k=3\): \(5M = 250 \Rightarrow M=50\) — можно, но нам нужно максимум \(k\), так что это не ответ.
• \(k=8\): \(5M = 245 \Rightarrow M=49\) ✅. Минимальная сумма для 8 чисел \(0+1+2+3+4+5+6+7 = 28\), \(49 \ge 28\) — достижимо.

\(k=13\) уже больше 10, не подходит по неравенству.

Значит, максимальное \(k = 8\).

✅ Ответ на (в): 8