📚 ЕГЭ 2026 Математика
Профильный уровень | Тренировочный вариант №7
🎉 Тест завершён!
Ваш результат: 0 из 19 баллов
Дополнительно
Задача 19
📋 Условие задачи
В каждой клетке квадратной таблицы 5×5 стоит натуральное число, меньшее 6 (то есть числа от 1 до 5).
- Вася в каждом столбце находит сумму чисел и из полученных сумм выбирает наименьшую.
- Петя в каждой строке находит сумму чисел и из полученных сумм выбирает наименьшую.
Вопросы:
- Может ли число у Пети получиться в два раза больше, чем число у Васи?
- Может ли число у Пети получиться в пять раз больше, чем число у Васи?
- В какое наибольшее число раз число у Пети может быть больше, чем число у Васи?
📚 Теоретическая часть
Обозначения
Обозначим числа в клетках таблицы через xij, где:
i— номер строки (1 ≤ i ≤ 5)j— номер столбца (1 ≤ j ≤ 5)xij ∈ {1, 2, 3, 4, 5}
Суммы строк и столбцов
Ri = Σj=15 xij — сумма i-й строки
Искомые величины
P = min(R1, R2, R3, R4, R5) — ответ Пети
Общая сумма
Общая сумма всех чисел в таблице может быть выражена двумя способами:
Ограничения
- Минимальная сумма столбца/строки:
5 × 1 = 5 - Максимальная сумма столбца/строки:
5 × 5 = 25 - Следовательно:
5 ≤ V ≤ 25и5 ≤ P ≤ 25
✅ Решение пункта (а)
Может ли P = 2V?
Построение примера
Заполним таблицу следующим образом:
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | Σ |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 2 | 2 | 3 | 10 |
| 1 | 2 | 2 | 2 | 3 | 10 |
| 1 | 2 | 2 | 2 | 3 | 10 |
| 1 | 2 | 2 | 2 | 3 | 10 |
| 1 | 2 | 2 | 2 | 3 | 10 |
| 5 | 10 | 10 | 10 | 15 | 50 |
Проверка:
- Суммы столбцов:
C = {5, 10, 10, 10, 15} - V = min(C) = 5
- Суммы строк:
R = {10, 10, 10, 10, 10} - P = min(R) = 10
- P/V = 10/5 = 2 ✓
❌ Решение пункта (б)
Может ли P = 5V?
Доказательство
Получим оценку сверху для отношения P/V.
Шаг 1: Оценка общей суммы S
Пусть V — минимальная сумма столбца. Тогда:
- Один столбец имеет сумму V
- Остальные 4 столбца имеют сумму ≤ 25 (максимум)
Шаг 2: Связь с P
Так как P — минимальная сумма строки, а строк 5:
Шаг 3: Объединяем неравенства
5P ≤ V + 100
P ≤ V/5 + 20
Шаг 4: Делим на V
Шаг 5: Используем V ≥ 5
Так как минимальная возможная сумма столбца равна 5:
Вывод:
Поскольку 4.2 < 5, отношение P/V не может равняться 5.
🎯 Решение пункта (в)
Наибольшее возможное отношение P/V
Верхняя оценка
Из пункта (б) мы получили: P/V ≤ 4.2
Достижимость оценки
Покажем, что значение 4.2 достижимо.
Для равенства в оценке необходимо:
- V = 5 (минимально возможное)
- Все остальные столбцы имеют сумму 25
- Все строки имеют одинаковую сумму
Пример таблицы
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | Σ |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 5 | 5 | 5 | 5 | 21 |
| 1 | 5 | 5 | 5 | 5 | 21 |
| 1 | 5 | 5 | 5 | 5 | 21 |
| 1 | 5 | 5 | 5 | 5 | 21 |
| 1 | 5 | 5 | 5 | 5 | 21 |
| 5 | 25 | 25 | 25 | 25 | 105 |
Проверка:
- Первый столбец: все единицы → C₁ = 5
- Остальные столбцы: все пятёрки → C₂ = C₃ = C₄ = C₅ = 25
- V = min{5, 25, 25, 25, 25} = 5
- Все строки: 1 + 5 + 5 + 5 + 5 = 21
- P = min{21, 21, 21, 21, 21} = 21
- P/V = 21/5 = 4.2 ✓
💡 Ключевые идеи решения
1. Двойной подсчёт суммы
Основная техника — выразить общую сумму таблицы двумя способами: через суммы столбцов и через суммы строк.
2. Границы возможных значений
- Минимум: 5 клеток × 1 = 5
- Максимум: 5 клеток × 5 = 25
3. Построение экстремальных примеров
Для достижения максимального отношения нужно:
- Минимизировать один столбец (все единицы)
- Максимизировать остальные столбцы (все пятёрки)
- Сбалансировать строки для равенства сумм
4. Общая формула для таблицы n×n
Для таблицы n×n с числами от 1 до m:
При V = n (минимум):
P/V ≤ 1/n + (n-1)×m/n = (1 + (n-1)×m)/n
Для n=5, m=5: P/V ≤ (1 + 4×5)/5 = 21/5 = 4.2
📝 Итоговые ответы
а) ДА, может (пример: P=10, V=5)
б) НЕТ, не может (максимум 4.2)
в) 4.2 (или 21/5)