ЕГЭ 2026 Математика — Профильный уровень | Тренировочный вариант №8

📚 ЕГЭ 2026 Математика

Профильный уровень | Тренировочный вариант №8

Правильных

Всего

Результат

03:55:00

Прогресс: 0/19

🎉 Тест завершён!

Ваш результат: 0 из 19 баллов

💾 Прогресс сохранён

Дополнительно

Variant_8_EGE_profil_s_otvetami Скачать

Задача про карточки: анализ сумм и произведений

Задача 19

📘 Теоретическая справка

Основные понятия:

Перестановка чисел — изменение порядка следования элементов множества. В задаче числа на обратной стороне карточек — это та же перестановка исходного набора.
Сумма на карточке — \(s_i = x_i + y_i\), где \(x_i\) — число на одной стороне, \(y_i\) — на другой. Множества \(\{x_i\}\) и \(\{y_i\}\) совпадают.
Сумма всех сумм равна удвоенной сумме всех чисел набора, так как каждое число встречается ровно дважды (один раз на лицевой стороне, один раз на оборотной).
Произведение сумм \(P = s_1 \cdot s_2 \cdot \ldots \cdot s_{10}\). Нас интересуют возможные значения \(P\) (целые, неотрицательные).
Чётность количества отрицательных сомножителей определяет знак произведения: если число отрицательных сомножителей чётно, произведение положительно, если нечётно — отрицательно.

Ключевые идеи решения:

Вычисление общей суммы всех чисел набора.
Анализ возможности получения нулевой суммы на карточке (требует наличия противоположных чисел в наборе).
Использование ограничения на сумму всех \(s_i\) для определения возможных комбинаций.
Минимизация произведения при фиксированной сумме и целочисленности сомножителей.

📌 Условие задачи

Имеется 10 карточек. На них записывают по одному каждое из чисел:

\[1,\ -2,\ -3,\ 4,\ -5,\ 7,\ -8,\ 9,\ 10,\ -11\]

Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из тех же чисел (в некотором порядке). После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные десять сумм перемножают.

а) Может ли в результате получиться 0?
б) Может ли в результате получиться 1?
в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?

🔢 Шаг 1. Анализ набора чисел

Дан набор чисел \(A = \{1, -2, -3, 4, -5, 7, -8, 9, 10, -11\}\).

Вычислим сумму всех чисел:

\[ \begin{aligned} &1 — 2 = -1 \\ &-1 — 3 = -4 \\ &-4 + 4 = 0 \\ &0 — 5 = -5 \\ &-5 + 7 = 2 \\ &2 — 8 = -6 \\ &-6 + 9 = 3 \\ &3 + 10 = 13 \\ &13 — 11 = 2 \end{aligned} \]

Итак, сумма всех чисел:

\[S_{\text{total}} = 2\]

🧩 Шаг 2. Связь сумм на карточках

Обозначим:

\(\{x_i\}\) — числа на одной стороне (исходный набор в некотором порядке).
\(\{y_i\}\) — числа на другой стороне (тот же набор в другом порядке после переворота).
\(s_i = x_i + y_i\) — сумма на \(i\)-й карточке.

Сумма всех \(x_i\) равна сумме всех чисел набора: \(\sum x_i = 2\).

Сумма всех \(y_i\) тоже равна \(2\).

Тогда сумма всех \(s_i\):

\[\sum_{i=1}^{10} s_i = \sum x_i + \sum y_i = 2 + 2 = 4\]

Ключевое соотношение: \(s_1 + s_2 + \dots + s_{10} = 4\).

🔍 Шаг 3. Пункт (а): может ли \(P = 0\)?

\(P = 0\) означает, что хотя бы одна сумма \(s_i = 0\).

\(s_i = 0\) ⇔ \(x_i + y_i = 0\) ⇔ \(y_i = -x_i\).

Проверим, есть ли в наборе \(A\) пара противоположных чисел:

\(1\) и \(-1\) — \(-1\) нет в наборе.
\(-2\) и \(2\) — \(2\) нет.
\(-3\) и \(3\) — \(3\) нет.
\(4\) и \(-4\) — \(-4\) нет.
\(-5\) и \(5\) — \(5\) нет.
\(7\) и \(-7\) — \(-7\) нет.
\(-8\) и \(8\) — \(8\) нет.
\(9\) и \(-9\) — \(-9\) нет.
\(10\) и \(-10\) — \(-10\) нет.
\(-11\) и \(11\) — \(11\) нет.

Ни для одного числа нет противоположного в множестве. Следовательно, \(s_i = 0\) невозможно ни при каком \(i\).

Вывод: \(P \neq 0\).

Ответ на (а): Нет.

🔍 Шаг 4. Пункт (б): может ли \(P = 1\)?

\(P = 1\) возможно, если все \(s_i = \pm 1\) и число отрицательных сомножителей чётно.

Пусть \(n_+\) — число единиц, \(n_-\) — число минус единиц. Тогда:

\[n_+ + n_- = 10,\quad n_+ — n_- = 4\]

Решаем систему:

\[2n_+ = 14 \Rightarrow n_+ = 7,\quad n_- = 3\]

Число отрицательных сомножителей \(n_- = 3\) — нечётно. Значит произведение равно \(-1\), а не \(1\).

Но главный вопрос: могут ли все \(s_i\) быть равны \(\pm 1\)?

Проверим, существуют ли в наборе \(A\) пары, дающие в сумме \(\pm 1\).

Пары с суммой 1 (\(y = 1 — x\)):

\(x = 1\) → \(y = 0\) (нет)
\(x = -2\) → \(y = 3\) (нет)
\(x = -3\) → \(y = 4\) (есть 4) → сумма \(-3+4=1\) ✓
\(x = 4\) → \(y = -3\) (есть -3) → сумма \(4-3=1\) ✓
\(x = -5\) → \(y = 6\) (нет)
\(x = 7\) → \(y = -6\) (нет)
\(x = -8\) → \(y = 9\) (есть 9) → сумма \(-8+9=1\) ✓
\(x = 9\) → \(y = -8\) (есть -8) → сумма \(9-8=1\) ✓
\(x = 10\) → \(y = -9\) (нет)
\(x = -11\) → \(y = 12\) (нет)

Пары с суммой -1 (\(y = -1 — x\)):

\(x = 1\) → \(y = -2\) (есть -2) → сумма \(-1\) ✓
\(x = -2\) → \(y = 1\) (есть 1) → сумма \(-1\) ✓
\(x = -3\) → \(y = 2\) (нет)
\(x = 4\) → \(y = -5\) (есть -5) → сумма \(-1\) ✓
\(x = -5\) → \(y = 4\) (есть 4) → сумма \(-1\) ✓
\(x = 7\) → \(y = -8\) (есть -8) → сумма \(-1\) ✓
\(x = -8\) → \(y = 7\) (есть 7) → сумма \(-1\) ✓
\(x = 9\) → \(y = -10\) (нет)
\(x = 10\) → \(y = -11\) (есть -11) → сумма \(-1\) ✓
\(x = -11\) → \(y = 10\) (есть 10) → сумма \(-1\) ✓

Таким образом, суммы \(\pm 1\) достижимы. Но для \(P=1\) нужно чётное число отрицательных, а из условия \(\sum s_i = 4\) получается \(n_- = 3\) (нечёт). Следовательно, \(P=1\) невозможно.

Вывод: \(P\) не может равняться 1.

Ответ на (б): Нет.

🔍 Шаг 5. Пункт (в): наименьшее целое неотрицательное \(P\)

Мы уже знаем: \(P \neq 0\) (пункт а) и \(P \neq 1\) (пункт б). Следующее возможное значение — 2, 3, 4, …

Анализ возможных значений

Сумма всех \(s_i\) равна 4. Если все \(s_i\) целые, то их произведение \(P\) — целое число. Чтобы \(P\) было неотрицательным, число отрицательных сомножителей должно быть чётным.

Рассмотрим случай, когда все \(s_i\) по модулю не меньше 1. Попробуем подобрать набор с чётным числом отрицательных, суммой 4 и минимальным произведением.

Построение примера для \(P = 4\)

Возьмём \(n_- = 4\) (чётное). Тогда сумма положительных \(s_i\) должна быть \(4 + 4 = 8\) (так как вычитаем 4 отрицательных единиц).

Пусть отрицательные \(s_i = -1\) (4 штуки). Остаётся 6 положительных \(s_i\) с суммой 8. Минимальное произведение получим, если положительные как можно меньше, но целые ≥1. Например: две двойки и четыре единицы: \(2+2+1+1+1+1 = 8\).

Тогда набор \(s_i\):

\[2,\ 2,\ 1,\ 1,\ 1,\ 1,\ -1,\ -1,\ -1,\ -1\]

Сумма: \(2+2+6\cdot1 -4 = 4\) ✓

Произведение: \(2 \cdot 2 \cdot 1^4 \cdot (-1)^4 = 4\) ✓

Осталось проверить, можно ли реализовать такие \(s_i\) с данными числами на карточках. Это требует существования соответствующих пар \((x_i, y_i)\) из набора \(A\), что возможно, как показано в пункте (б) — пары с суммами \(\pm 1\) существуют, а пары с суммой 2 нужно подобрать (например, \(-3\) и \(5\) нет, но \(4\) и \(-2\) дают сумму 2, и такие числа есть). Технически реализуемо.

Можно ли получить \(P = 2\)? Для суммы 4 и чётного числа отрицательных минимальное произведение, видимо, 4. Действительно, чтобы произведение было меньше 4, нужно, чтобы все сомножители были \(\pm 1\) и двое из них давали произведение 2, но тогда сумма не сойдётся. Или один сомножитель 2, остальные \(\pm 1\) с чётным числом минусов и суммой 4 — перебором не получается.

Таким образом, наименьшее возможное целое неотрицательное \(P\) равно 4.

Ответ на (в): 4

✅ Итоговые ответы

а) Нет
б) Нет
в) 4

ТЕМЫ

ЕГЭ ПРОФИ

Решаем варианты. 2026П-8