📚 ЕГЭ 2026 Математика
Профильный уровень | Тренировочный вариант №9
🎉 Тест завершён!
Ваш результат: 0 из 19 баллов
Дополнительно
Тренировочный вариант №9 | Задание 19
Условие задачи
Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 13 раз больше, либо в 13 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 3345.
а) Может ли последовательность состоять из двух членов?
б) Может ли последовательность состоять из трёх членов?
в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?
Подробное решение
Пусть последовательность состоит из двух натуральных чисел: \(a\) и \(b\).
По условию, второй член либо в 13 раз больше, либо в 13 раз меньше первого. Рассмотрим оба случая:
Сумма: \(a + 13a = 14a = 3345\)
\(a = \frac{3345}{14} \approx 238,9\) — не натуральное число.
Сумма: \(13b + b = 14b = 3345\)
\(b = \frac{3345}{14} \approx 238,9\) — не натуральное число.
Так как в обоих случаях мы не получаем натуральное число, такая последовательность существовать не может.
Пусть последовательность состоит из трёх чисел: \(a, b, c\).
Рассмотрим возможные варианты переходов между членами (\(\times 13\) или \(\div 13\)):
- Вариант \(a; 13a; 169a\):
Сумма \(183a = 3345 \Rightarrow a \approx 18,2\) (не подходит). - Вариант \(a; 13a; a\):
Сумма \(a + 13a + a = 15a = 3345\)
\(a = \frac{3345}{15} = 223\).
Получаем последовательность: 223; 2909; 223. Все числа натуральные. - Вариант с делением (\(169k; 13k; k\)):
Сумма \(183k = 3345 \Rightarrow k \approx 18,2\) (не подходит). - Вариант \(13k; k; 13k\):
Сумма \(27k = 3345 \Rightarrow k \approx 123,8\) (не подходит).
Мы нашли подходящий пример во втором случае.
Чтобы количество членов последовательности было наибольшим, нужно использовать наименьшие возможные натуральные числа. Наименьшие числа, связанные отношением 13, это 1 и 13.
Идеальная последовательность для максимизации длины будет чередовать единицы и тринадцатки: \(1; 13; 1; 13; \dots\)
Пусть в последовательности \(k\) единиц и \(m\) тринадцаток.
\(1 \cdot k + 13 \cdot m = 3345\)
\(k + 13m = 3345\)
Общее количество членов \(n = k + m\). Чтобы максимизировать \(n\), нужно максимизировать \(k\) (так как единицы «дешевле» для суммы). Это значит, что нужно минимизировать \(m\), но при этом соблюсти условие чередования.
Ограничения чередования:
- Если последовательность начинается и заканчивается на 1: \(k = m + 1\)
- Если начинается на 1, заканчивается на 13: \(k = m\)
- Если начинается на 13, заканчивается на 1: \(k = m\)
- Если начинается и заканчивается на 13: \(k = m — 1\)
Подставим соотношения в уравнение суммы \(k + 13m = 3345\):
\((m+1) + 13m = 3345 \Rightarrow 14m = 3344 \Rightarrow m = 238,8\) (не целое).
\(m + 13m = 3345 \Rightarrow 14m = 3345 \Rightarrow m = 238,9\) (не целое).
\((m-1) + 13m = 3345 \Rightarrow 14m = 3346 \Rightarrow m = 239\).
Тогда \(k = 238\).
Общее количество: \(n = 239 + 238 = 477\).
Проверка: Последовательность начинается с 13 и заканчивается 13 (\(13, 1, 13, \dots, 1, 13\)).
Сумма: \(239 \times 13 + 238 \times 1 = 3107 + 238 = 3345\). Всё верно.