Решение неравенств методом интервалов

От /

Метод интервалов — это аналитико-графический способ решения неравенств, сводимых к исследованию знака некоторой функции f(x) .

Основная идея:

Знак непрерывной функции может меняться только в точках, где она обращается в ноль или теряет непрерывность (например, в точках разрыва, особенно у дробей — в нулях знаменателя).

1. Приведение неравенства к стандартному виду

Неравенство должно быть записано в виде: P(x)≥0 (или >0, ≤0, <0), где P(x) — произведение или частное линейных множителей вида (x−a).

Пример: 

\frac{(x-2)(x+1)^3(x-5)^2}{x-3} \leqslant 0

2. Нахождение нулей и критических точек функции

Находим корни уравнения P(x)=0:

-1,\quad 2,\quad 5.

Область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель не равен нулю:

x - 3 \ne 0 \quad \Rightarrow \quad x \ne 3.

При решении дробно-рациональных неравенств: всегда исключай точки, где исходный знаменатель = 0, даже если они «исчезли» после сокращения.

3. Отметка точек на числовой прямой

Чертим числовую прямую и отмечаем найденные точки (если неравенство строгое (>, <), точки белые; если нестрогое (≥, ≤) — черные.

-1,\quad 2,\quad 3,\quad 5.

4. Определение знаков на интервалах

Выбираем тестовые точки из каждого интервала и подставляем в P(x), чтобы определить знак.

\begin{array}{c|c}
\text{Интервал} & \text{Знак} \\
\hline
(-\infty, -1) & - \\
(-1, 2) & + \\
(2, 3) & - \\
(3, 5) & + \\
(5, +\infty) & + \\
\end{array}

5. Выбор нужных интервалов

Смотрим на знак неравенства:

  • Если P(x)>0, выбираем интервалы со знаком +.
  • Если P(x)<0, выбираем интервалы со знаком −.

Нужны интервалы со знаком «(-)» и нули функции, где числитель = 0 и x входит в ОДЗ.

Где f(x)=0 ? Когда числитель = 0 → x=−1, 2, 5

Проверим ОДЗ:

  • x=−1 : ≠ 3 → ✅ входит
  • x=2 : ≠ 3 → ✅ входит
  • x=5 : ≠ 3 → ✅ входит

→ Все три нуля включаем (неравенство нестрогое!).

(-\infty, -1) \cup \{-1\} = (-\infty, -1],
(2, 3) \cup \{2\} = [2, 3)

Точка (x = 5): (f(5) = 0), но в окрестности — «(+)», поэтому добавляем как изолированную точку: ({5}).

Многие забывают такие изолированные нули.
Поскольку (x−5)2⩾0 и обращается в 0 только в одной точке, а знак вокруг неё неотрицательный, то:

  • При f(x)<0 → не входила бы.
  • При f(x)⩽0 → точка x=5 входит,

6. Запись ответа, учитывая включение/исключение граничных точек.

\boxed{(-\infty,\ -1] \cup [2,\ 3) \cup \{5\}}

Метод интервалов позволяет наглядно решать неравенства, определяя знаки функции на разных участках числовой прямой. Главное — правильно найти критические точки и верно определить знаки.

Рассмотрим неравенство:

\frac{(x^2 - 4x + 4)(x^2 + x - 6)}{x^2 - 2x - 3} \leqslant 0.

Разложим все квадратные трёхчлены:

\begin{align*}
x^2 - 4x + 4 &= (x - 2)^2, \\
x^2 + x - 6 &= (x + 3)(x - 2), \\
x^2 - 2x - 3 &= (x - 3)(x + 1).
\end{align*}

Подставим в исходное выражение:

\frac{(x - 2)^2 \cdot (x + 3)(x - 2)}{(x - 3)(x + 1)} = \frac{(x - 2)^3 (x + 3)}{(x - 3)(x + 1)}.

Нули числителя и нули знаменателя:

-3,\quad -1,\quad 2,\quad 3.

Получаем следующую схему знаков:

\begin{array}{c|ccccc}
x & (-\infty, -3) & (-3, -1) & (-1, 2) & (2, 3) & (3, +\infty) \\
\hline
\text{Знак} & + & - & + & - & + \\
\end{array}

Ответ

\boxed{[-3,\ -1) \cup [2,\ 3)}

Тренировочные задания

Дополнительно

https://abitur.ivanovo.ac.ru/wp-content/uploads/2023/03/Метод_интервалов_2023.pdf

https://mathus.ru/math/metod-intervalov.pdf

Прокрутить вверх