Понятие модуля (абсолютной величины) числа появилось в математике в XIX веке благодаря работам немецкого математика Карла Вейерштрасса.
- Модуль числа — это абсолютное значение числа, обозначающее расстояние до нуля на координатной прямой.
- Решение уравнений с модулями традиционно опирается на определение модуля, но при множестве модулей раскрывать их по определению становится громоздко. Поэтому был разработан метод промежутков (метод интервалов).
📚 Теория
📝 Уравнения
📊 Графический тренажер
🎯 Определение модуля
Модуль (абсолютная величина) числа a — это расстояние от точки a до нуля на числовой прямой.
Обозначение: |a|
Обозначение: |a|
Формальное определение:
|a| = a, если a > 0 ; -a, если a <0
|a| = a, если a > 0 ; -a, если a <0
📊 Основные свойства модуля
1. Неотрицательность: |a| ≥ 0 для любого a
2. |a| = 0 ⇔ a = 0
3. |a · b| = |a| · |b|
4. |a + b| ≤ |a| + |b| (неравенство треугольника)
5. |a - b| ≥ ||a| - |b||
6. √(a²) = |a|
🎨 Геометрическая интерпретация
|a| — расстояние от точки a до 0 на числовой прямой
|a - b| — расстояние между точками a и b на числовой прямой
Пример: |x - 3| = 5
Это означает: "расстояние от x до 3 равно 5"
Решения: x = 3 + 5 = 8 и x = 3 - 5 = -2
Это означает: "расстояние от x до 3 равно 5"
Решения: x = 3 + 5 = 8 и x = 3 - 5 = -2
🔧 Общий алгоритм решения уравнений с модулем
1. Найти точки, где выражения под модулем равны нулю
2. Разбить числовую прямую на интервалы этими точками
3. На каждом интервале раскрыть модули с соответствующими знаками
4. Решить полученные уравнения на каждом интервале
5. Проверить, принадлежат ли решения своим интервалам
6. Записать окончательный ответ
📝 Основные типы уравнений с модулями
Тип 1: |f(x)| = a, где a ≥ 0
Алгоритм: f(x) = a или f(x) = -a
Пример: |2x - 1| = 3
2x - 1 = 3 ⇒ 2x = 4 ⇒ x = 2
2x - 1 = -3 ⇒ 2x = -2 ⇒ x = -1
Ответ: x = -1, x = 2
2x - 1 = 3 ⇒ 2x = 4 ⇒ x = 2
2x - 1 = -3 ⇒ 2x = -2 ⇒ x = -1
Ответ: x = -1, x = 2
Тип 2: |f(x)| = |g(x)|
Алгоритм: f(x) = g(x) или f(x) = -g(x)
Пример: |x + 2| = |2x - 1|
x + 2 = 2x - 1 ⇒ -x = -3 ⇒ x = 3
x + 2 = -(2x - 1) ⇒ x + 2 = -2x + 1 ⇒ 3x = -1 ⇒ x = -1/3
Ответ: x = -1/3, x = 3
x + 2 = 2x - 1 ⇒ -x = -3 ⇒ x = 3
x + 2 = -(2x - 1) ⇒ x + 2 = -2x + 1 ⇒ 3x = -1 ⇒ x = -1/3
Ответ: x = -1/3, x = 3
Тип 3: |f(x)| = g(x)
Алгоритм:1. Проверить: если g(x) < 0 ⇒ решений нет
2. Если g(x) ≥ 0: f(x) = g(x) или f(x) = -g(x)
Пример: |x - 1| = 2x + 1
Проверка: 2x + 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ -0.5
x - 1 = 2x + 1 ⇒ -x = 2 ⇒ x = -2 (не подходит)
x - 1 = -(2x + 1) ⇒ x - 1 = -2x - 1 ⇒ 3x = 0 ⇒ x = 0 (подходит)
Ответ: x = 0
Проверка: 2x + 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ -0.5
x - 1 = 2x + 1 ⇒ -x = 2 ⇒ x = -2 (не подходит)
x - 1 = -(2x + 1) ⇒ x - 1 = -2x - 1 ⇒ 3x = 0 ⇒ x = 0 (подходит)
Ответ: x = 0
Тип 4: Вложенные модули | |f(x)| + a | = b
Алгоритм: |f(x)| + a = b или |f(x)| + a = -b
Пример: | |x| - 2 | = 1
|x| - 2 = 1 ⇒ |x| = 3 ⇒ x = ±3
|x| - 2 = -1 ⇒ |x| = 1 ⇒ x = ±1
Ответ: x = -3, -1, 1, 3
|x| - 2 = 1 ⇒ |x| = 3 ⇒ x = ±3
|x| - 2 = -1 ⇒ |x| = 1 ⇒ x = ±1
Ответ: x = -3, -1, 1, 3
Тип 5: Сумма модулей |f(x)| + |g(x)| = a
Алгоритм: Метод интервалов
Пример: |x - 1| + |x + 2| = 5
Критические точки: x = 1, x = -2
Интервалы: (-∞, -2), [-2, 1), [1, ∞)
Решаем на каждом интервале...
Критические точки: x = 1, x = -2
Интервалы: (-∞, -2), [-2, 1), [1, ∞)
Решаем на каждом интервале...
|kx + b| = c
|kx + b| = |mx + n|
| |kx + b| + c | = d
|kx + b| + |mx + n| = c
|x| = 2
Основные параметры
Наклон прямой
Сдвиг по вертикали
Правая часть/сдвиг
🎯 Решения уравнения (точки пересечения):
Решения появятся после построения графика
💡 Объяснение: Уравнение |x| = 2 имеет два решения: x = 2 и x = -2.
Это видно по точкам пересечения графика y = |x| (галочка) и горизонтальной прямой y = 2.
Задания
Дополнительно
Источник: https://lpi.sfu-kras.ru/files/page_files/posobi_uravneniya_i_neravenstva_s_modulem.pdf
Источник: https://www.resolventa.ru/data/metodsch/absvalue.pdf
Источник: https://mathus.ru/math/modulur.pdf