Теорема Безу. Значение многочлена f (x) в точке c равно остатку от деления f (x) на (x − c).
Э. Безу
1730 год
Родился Этьен Безу — французский математик, автор известной теоремы. Он преподавал математику в учебных заведениях французского флота.
1760-е годы
Безу работал над своим шеститомным трудом "Курс математики", который стал одним из самых популярных учебников в Европе.
1779 год
Безу сформулировал и доказал свою знаменитую теорему об остатке от деления многочлена на линейный двучлен.
1783 год
Этьен Безу скончался, но его теорема продолжает жить и широко используется в алгебре и других разделах математики.
О Этьене Безу
Этьен Безу (1730-1783) — французский математик, член Парижской академии наук. Он известен своими работами в области алгебры, в частности, исследованиями систем алгебраических уравнений.
Безу был талантливым педагогом и автором популярных учебников по математике. Его "Курс математики" выдержал множество переизданий и был переведен на многие языки.
Интересный факт: Несмотря на то, что теорема названа именем Безу, аналогичные результаты были известны и другим математикам, например, Декарту. Однако именно Безу сформулировал теорему в современном виде и широко популяризировал её.
Теория: теорема Безу
Теорема Безу утверждает, что остаток от деления многочлена \( P(x) \) на линейный двучлен \( (x - a) \) равен значению многочлена в точке \( a \):
где:
- \( P(x) \) — исходный многочлен
- \( (x - a) \) — линейный двучлен
- \( Q(x) \) — частное от деления
- \( P(a) \) — остаток от деления (значение многочлена в точке a)
Следствия теоремы Безу
Это означает, что:
- Если \( P(a) = 0 \), то \( a \) является корнем многочлена \( P(x) \)
- Многочлен \( P(x) \) делится на \( (x - a) \) без остатка тогда и только тогда, когда \( a \) — корень многочлена
Доказательство теоремы
Рассмотрим деление многочлена \( P(x) \) на \( (x - a) \). По определению деления с остатком:
где \( R \) — остаток (поскольку делитель первой степени, остаток будет константой).
Подставим \( x = a \):
Таким образом, \( R = P(a) \), что и требовалось доказать.
Пример
Рассмотрим многочлен \( P(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2 \) и двучлен \( (x - 2) \).
Найдем \( P(2) = 2^3 - 2 \cdot 2^2 - 2 + 2 = 8 - 8 - 2 + 2 = 0 \).
Согласно теореме Безу, остаток от деления равен 0, значит, \( P(x) \) делится на \( (x - 2) \) без остатка.
Применение теоремы Безу
Теорема Безу находит широкое применение в различных разделах математики:
1. Нахождение корней многочленов
Если удается подобрать число \( a \) такое, что \( P(a) = 0 \), то \( a \) является корнем многочлена, и \( P(x) \) делится на \( (x - a) \).
2. Разложение многочленов на множители
Найдя один корень \( a \), можно разделить многочлен на \( (x - a) \) и понизить его степень, что упрощает дальнейшее разложение.
3. Решение уравнений высших степеней
Теорема Безу позволяет свести решение уравнения \( P(x) = 0 \) к нахождению корней многочлена меньшей степени.
4. Метод неопределенных коэффициентов
При разложении рациональных функций на простейшие дроби теорема Безу помогает находить коэффициенты.
Пример применения
Разложим многочлен \( P(x) = x^3 - 3x^2 + 4 \) на множители.
Найдем целые корни среди делителей свободного члена 4: ±1, ±2, ±4.
\( P(1) = 1 - 3 + 4 = 2 \neq 0 \)
\( P(2) = 8 - 12 + 4 = 0 \) → \( x = 2 \) корень
Делим \( P(x) \) на \( (x - 2) \):
\( x^3 - 3x^2 + 4 = (x - 2)(x^2 - x - 2) \)
Разложим дальше: \( x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1) \)
Итоговое разложение: \( P(x) = (x - 2)^2(x + 1) \)
Алгоритм поиска рациональных корней
- Найти все делители свободного члена \( a_0 \)
- Найти все делители старшего коэффициента \( a_n \)
- Составить все возможные дроби \( \frac{p}{q} \), где \( p \) — делитель \( a_0 \), \( q \) — делитель \( a_n \)
- Проверить, является ли каждая дробь корнем многочлена с помощью теоремы Безу
Практические задания
Решите задачи, используя теорему Безу. Проверьте свои ответы.
Схема Горнера
Эффективный алгоритм для:
- Вычисления значения многочлена \( P(a) \)
- Нахождения остатка от деления на \( (x - a) \) (по теореме Безу)
- Деления многочлена на линейный двучлен
- Поиска корней и разложения на множители
1,-3,2,-1,5 → \( x^4 - 3x^3 + 2x^2 - x + 5 \)
Как это связано с теоремой Безу?
Последнее число в строке \( b_i \) — это \( P(a) \), которое по теореме Безу равно остатку от деления \( P(x) \) на \( (x - a) \).
Если это число равно нулю — \( (x - a) \) является делителем многочлена.
Дополнительно
Глебова М. В., Тимербулатова В. Ф. Практические занятия по алгебре
многочленов: учебно-методическое пособие. ссылка
Гриншпон С.Я., Гриншпон И.Э. Многочлены от одной переменной (теория и приложения): учеб. пособие. ссылка
Тимашев Д. А. Алгебра. Часть 1. ссылка