Схема Горнера — это алгоритм для вычисления значения многочлена, записанного в стандартной форме, при заданном значении переменной, а также для деления многочлена на линейный двучлен вида (x - c).
Она позволяет избежать непосредственного вычисления высоких степеней переменной, что делает вычисления более эффективными и менее подверженными ошибкам округления.
Схема Горнера
Алгоритм для деления многочлена на линейный двучлен (x − a) и вычисления значения многочлена в точке
🎯 Назначение
- Деление многочлена на (x − a)
- Вычисление P(a) (теорема Безу)
- Разложение на множители
- Поиск рациональных корней
⚡ Преимущества
- Быстрее прямого деления
- Меньше вычислений
- Удобна для программирования
- Наглядность процесса
1 Алгоритм схемы Горнера
bi = ai + bi−1 ⋅ c (i ≥ 1)
a0, a1, … — коэффициенты многочлена от старшей степени к свободному члену;
c — число, при котором вычисляется P(c) (деление на x − c).
- Запишите коэффициенты многочлена: a0, a1, ..., an (от старшей степени к свободному члену)
- Первое значение: b0 = a0
- Для i = 1 до n: вычислите bi = ai + bi−1 ⋅ c
- Последнее значение bn — это P(c) (остаток от деления на x − c)
- Коэффициенты частного — b0, ..., bn−1
1,-2,0,-4 → x³ − 2x² − 4
📚 Теоретическая справка
Теорема Безу
Остаток от деления многочлена P(x) на (x − a) равен P(a). В схеме Горнера последнее вычисленное значение bn и есть P(a).
Применение
- Вычисление значений многочленов
- Деление многочленов
- Поиск корней уравнения
- Разложение на множители
Особенности
- Работает только для линейных делителей (x − a)
- Коэффициенты должны включать нулевые (для пропущенных степеней)
- Эффективна для многочленов высокой степени
Задание 1. Вычисление значения многочлена
- Дано: P(x)=3x3−2x2+5x−7. Найдите P(2)
- Дано: Q(x)=x4+4x3−x2+6. Найдите Q(−1)
- Дано: R(x)=2x5−3x4+x2−10. Найдите R(1)
- Дано: S(x)=5x3−4x+3. Найдите S(−2)
- Дано: T(x)=x3−6x2+11x−6. Найдите T(4)
Задание 2: Деление многочлена на (x — c)
Разделите многочлен на линейный двучлен с помощью схемы Горнера. Запишите результат в виде P(x)=(x−c)⋅Q(x)+R
- Разделите P(x)=4x3−8x2+3x+1на (x−1)
- Разделите P(x)=x4−5x2+10x−3 на (x−2)
- Разделите P(x)=2x3+7x2−5x−4 на (x+2)
- Разделите P(x)=6x4−x3+2x2−4x+5 на (x+1)
- Разделите P(x)=x5−32 на (x−2)
- Разделите P(x)=x4−3x2+2x−1на (x−3)
- Разделите P(x)=2x5−3x3+x−5 на (x+1)
- Разделите P(x)=x4−16 на (x−2)
- Разделите P(x)=3x4−2x2+7 на (x+2)
- Разделите P(x)=x5+x3−x2+1на (x−1)
Задание 3: Нахождение корней многочлена (Теорема Безу)
Найдите все рациональные корни многочлена и разложите его на множители.
- Найдите все корни многочлена P(x)=x3−3x2−x+3
- Найдите все корни многочлена P(x)=x3−7x−6
- Найдите все корни многочлена P(x)=2x3+3x2−11x−6
- Найдите все корни многочлена P(x)=x4−5x2+4
- Найдите все корни многочлена P(x)=x3−4x2−4x+16