Шпаргалка по трапециям

От /

Все свойства, формулы и типовые задачи с решениями

Шпаргалка: Трапеция — все свойства и задачи

1 Виды трапеций

А) Произвольная трапеция
  • Боковые стороны не равны и не перпендикулярны основаниям
  • Нет специальных свойств кроме основных
Б) Прямоугольная трапеция
  • Одна боковая сторона ⟂ основаниям
  • Два угла = 90°
  • Высота равна этой боковой стороне
В) Равнобедренная (равнобокая)
  • Боковые стороны равны: AB = CD
  • Углы при каждом основании равны
  • Диагонали равны: AC = BD
  • Симметрична относительно серединного перпендикуляра
  • Только её можно вписать в окружность
1.1 В прямоугольной трапеции основания равны 5 см и 9 см, а меньшая боковая сторона равна 4 см. Найдите площадь трапеции.

Решение:

1) Меньшая боковая сторона = высоте (свойство прямоугольной трапеции) ⇒ h = 4 см

2) S = (a + b)/2 × h = (5 + 9)/2 × 4 = 7 × 4 = 28 см²

✅ Использовано свойство: В прямоугольной трапеции высота равна боковой стороне, перпендикулярной основаниям

2 Основные формулы

Средняя линия: m = (a + b) / 2
Площадь: S = (a + b) / 2 · h = m · h
Периметр: P = a + b + c + d
Для равнобедренной трапеции:
Проекция боковой стороны: x = (b — a) / 2
Боковая сторона: c = √[h² + ((b — a)/2)²]
Особые случаи:
  • Если диагонали ⟂ (в равнобедренной): h = m
  • Отрезок между серединами диагоналей = |b — a| / 2
2.1 В трапеции основания равны 6 см и 14 см, а высота 5 см. Найдите среднюю линию и площадь.

Решение:

1) Средняя линия: m = (a + b)/2 = (6 + 14)/2 = 10 см

2) Площадь: S = m × h = 10 × 5 = 50 см²

✅ Использованы формулы: m = (a+b)/2, S = m·h

3 Описанная окружность

(Окружность описана около трапеции)

  • Возможно только для равнобедренной трапеции
  • Причина: суммы противоположных углов = 180°
  • Центр лежит на серединном перпендикуляре к основаниям
Расположение центра O:
  • Внутри трапеции — если углы при большем основании острые
  • На большем основании — если ∠ABD = 90°
  • Вне трапеции — если углы при большем основании тупые
3.1 Можно ли описать окружность около трапеции с основаниями 8 и 12 и боковыми сторонами 5 и 7?

Решение:

1) Описать окружность можно только вокруг равнобедренной трапеции

2) В данной трапеции боковые стороны 5 ≠ 7 ⇒ трапеция не равнобедренная

3) Ответ: Нельзя

✅ Использовано свойство: Только равнобедренную трапецию можно вписать в окружность

4 Вписанная окружность

(Окружность вписана в трапецию)

Условие: a + b = c + d

Сумма оснований = сумме боковых сторон

Следствия:
  • Высота = диаметру: h = 2r
  • Площадь: S = r(a + b)
  • Центр — на пересечении биссектрис
Для равнобедренной описанной:
Боковая сторона = средней линии: c = m
Высота = √(a·b)
Радиус: r = h/2 = √(a·b)/2
4.1 В трапецию с основаниями 7 и 13 вписана окружность. Найдите боковую сторону, если трапеция равнобедренная.

Решение:

1) Условие вписанной окружности: a + b = 2c (равнобедренная)

2) 7 + 13 = 2c ⇒ 20 = 2c ⇒ c = 10

3) Ответ: Боковая сторона = 10

✅ Использовано свойство: В равнобедренной описанной трапеции a+b = 2c

5 Диагонали трапеции

Диагонали AC и BD пересекаются в точке O:

△AOB и △COD (у боковых сторон):
  • Равновелики: SAOB = SCOD
△BOC и △AOD (у оснований):
  • Подобны: △BOC ∼ △AOD
  • Коэффициент подобия: k = a/b
  • Отношение площадей: SBOC : SAOD = a² : b²
Отношение отрезков диагоналей: BO/OD = CO/OA = a/b
5.1 В трапеции ABCD (BC∥AD) основания BC = 3, AD = 12. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Площадь треугольника AOD равна 48. Найдите площадь треугольника BOC.

Решение:

1) △BOC ∼ △AOD (у них равны углы: ∠BOC = ∠AOD как вертикальные, ∠OBC = ∠ODA и ∠OCB = ∠OAD как накрест лежащие)

2) Коэффициент подобия: k = BC/AD = 3/12 = 1/4

3) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: SBOC/SAOD = k² = (1/4)² = 1/16

4) SBOC = 48 × 1/16 = 3

✅ Использовано свойство: Треугольники, образованные диагоналями и основаниями трапеции, подобны, а их площади относятся как квадраты оснований

6 Углы и биссектрисы

Основное свойство углов:
∠BAD + ∠ABC = 180°
∠ADC + ∠BCD = 180°

(односторонние при параллельных основаниям)

Биссектрисы:
  • Биссектрисы углов, прилежащих к одной боковой стороне, перпендикулярны
  • В равнобедренной трапеции биссектрисы углов при большем основании отсекают равнобедренные треугольники
6.1 В трапеции ABCD (AD∥BC) угол A = 70°, угол B = 110°. Найдите угол между биссектрисами углов A и B.

Решение:

1) Биссектриса делит угол пополам: ∠BAO = 70°/2 = 35°

2) ∠ABO = 110°/2 = 55°

3) В △AOB: ∠AOB = 180° — (35° + 55°) = 90°

4) Ответ: 90°

✅ Использовано свойство: Биссектрисы углов при одной боковой стороне перпендикулярны

6.2 Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если разность противолежащих углов равна 68°?

Решение:

1) В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны

2) Пусть ∠A = ∠B = x, ∠C = ∠D = y

3) x + y = 180° (односторонние углы)

4) |x — y| = 68° ⇒ x — y = 68° (x > y)

5) Решаем систему: x + y = 180, x — y = 68

6) Складываем: 2x = 248 ⇒ x = 124°

7) Ответ: 124°

✅ Использованы свойства: 1) В равнобедренной трапеции углы при основании равны; 2) Сумма односторонних углов = 180°

7 Задачи на среднюю линию

Теория:
  • Средняя линия трапеции параллельна основаниям
  • Длина средней линии равна полусумме оснований: m = (a + b)/2
  • Диагональ делит среднюю линию на две части, каждая из которых равна половине соответствующего основания
  • Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований
7.1 Средняя линия трапеции равна 35, а меньшее основание равно 27. Найдите большее основание трапеции.

Решение:

1) Формула средней линии: m = (a + b)/2

2) 35 = (27 + b)/2

3) 70 = 27 + b

4) b = 70 — 27 = 43

Ответ: 43

7.2 Средняя линия трапеции равна 29, а одно из её оснований больше другого на 14. Найдите большее основание трапеции.

Решение:

1) Пусть меньшее основание = x, тогда большее = x + 14

2) m = (x + x + 14)/2 = (2x + 14)/2 = x + 7

3) x + 7 = 29 ⇒ x = 22

4) Большее основание = 22 + 14 = 36

Ответ: 36

7.3 Основания трапеции равны 4 и 10. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.

Решение:

1) Средняя линия m = (4 + 10)/2 = 7

2) Диагональ делит среднюю линию на два отрезка

3) Каждый из этих отрезков равен половине соответствующего основания

4) Для меньшего основания: 4/2 = 2

5) Для большего основания: 10/2 = 5

6) Больший отрезок = 5

Ответ: 5

7.4 Основания трапеции равны 12 и 37. Найдите меньший из отрезков, на которые делит среднюю линию трапеции одна из её диагоналей.

Решение:

1) Средняя линия m = (12 + 37)/2 = 24.5

2) Отрезки равны: 12/2 = 6 и 37/2 = 18.5

3) Меньший отрезок = 6

Ответ: 6

7.5 Периметр трапеции равен 40, а сумма непараллельных сторон равна 20. Найдите среднюю линию трапеции.

Решение:

1) P = a + b + c + d = 40

2) c + d = 20 (сумма непараллельных сторон)

3) Тогда a + b = 40 — 20 = 20

4) Средняя линия m = (a + b)/2 = 20/2 = 10

Ответ: 10

7.6 В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Высота трапеции равна 10. Найдите её среднюю линию.

Решение:

1) В равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями работает свойство: высота равна средней линии

2) h = m

3) m = 10

Ответ: 10

7.7 Основания трапеции равны 10 и 24. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.

Решение:

1) Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований

2) MN = |24 — 10|/2 = 14/2 = 7

Ответ: 7

7.8 Основания трапеции равны 13 и 47. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.

Решение:

1) MN = |47 — 13|/2 = 34/2 = 17

Ответ: 17

8 Высота и проекции в равнобедренной трапеции

Теория:
  • В равнобедренной трапеции высота, опущенная из вершины тупого угла, делит большее основание на два отрезка
  • Меньший отрезок: AH = (AD — BC)/2
  • Больший отрезок: HD = (AD + BC)/2
  • Проекция боковой стороны на большее основание = (AD — BC)/2
8.1 Перпендикуляр, опущенный из вершины тупого угла на большее основание равнобедренной трапеции, делит его на части, имеющие длины 22 и 15. Найдите среднюю линию этой трапеции.

Решение:

1) В равнобедренной трапеции ABCD (BC∥AD, AB = CD) высота BH, опущенная из вершины B, делит большее основание AD на два отрезка:

— AH = (AD — BC)/2 (проекция боковой стороны на большее основание)

— HD = (AD + BC)/2

2) По условию отрезки равны 22 и 15. Меньший из них — это проекция боковой стороны: AH = 15, больший — HD = 22

3) AD = AH + HD = 15 + 22 = 37

4) Из формулы для HD: HD = (AD + BC)/2 ⇒ 22 = (37 + BC)/2 ⇒ 44 = 37 + BC ⇒ BC = 7

5) Средняя линия m = (AD + BC)/2 = (37 + 7)/2 = 44/2 = 22

Ответ: 22

✅ Использовано свойство: В равнобедренной трапеции высота делит большее основание на отрезки: меньший = (a-b)/2, больший = (a+b)/2

8.2 Перпендикуляр, опущенный из вершины тупого угла на большее основание равнобедренной трапеции, делит его на части, имеющие длины 17 и 126. Найдите среднюю линию этой трапеции.

Решение:

1) В равнобедренной трапеции высота делит большее основание на два отрезка:

— Меньший отрезок AH = (AD — BC)/2 (проекция боковой стороны)

— Больший отрезок HD = (AD + BC)/2

2) По условию: AH = 17, HD = 126 (так как 17 < 126)

3) AD = AH + HD = 17 + 126 = 143

4) Из формулы для HD: HD = (AD + BC)/2 ⇒ 126 = (143 + BC)/2

5) 252 = 143 + BC ⇒ BC = 109

6) Средняя линия m = (AD + BC)/2 = (143 + 109)/2 = 252/2 = 126

Ответ: 126

8.3 В равнобедренной трапеции высота делит большее основание на отрезки 4 и 10. Найдите основания, если в трапецию можно вписать окружность.

Решение:

1) Высота делит основание: AH = 4, HD = 10 ⇒ AD = 14

2) В равнобедренной трапеции AH = (AD — BC)/2 ⇒ 4 = (14 — BC)/2

3) 8 = 14 — BC ⇒ BC = 6

4) Проверим условие вписанной окружности: a+b = 2c

5) Найдем боковую сторону: c = √(h² + ((AD-BC)/2)²) = √(h² + 4²)

6) Из условия a+b = 2c: 14+6 = 2√(h²+16) ⇒ 20 = 2√(h²+16)

7) √(h²+16) = 10 ⇒ h²+16 = 100 ⇒ h = √84 = 2√21

8) Ответ: AD=14, BC=6, h=2√21

8.4 Основания равнобедренной трапеции равны 45 и 24. Тангенс острого угла равен 2/7. Найдите высоту трапеции.

Решение:

1) Проведём высоты BH и CK. AH = KD = (AD — BC)/2 = (45-24)/2 = 10.5

2) tg∠A = BH/AH = h/10.5

3) По условию: tg∠A = 2/7

4) h/10.5 = 2/7 ⇒ h = (2×10.5)/7 = 21/7 = 3

Ответ: 3

8.5 Основания равнобедренной трапеции равны 45 и 14. Высота трапеции равна 9.3. Найдите тангенс острого угла.

Решение:

1) AH = (AD — BC)/2 = (45-14)/2 = 31/2 = 15.5

2) tg∠A = h/AH = 9.3/15.5 = 93/155 = 3/5 = 0.6

3) Ответ: tg∠A = 0.6

9 Задачи на площадь трапеции

Основные формулы площади:
S = (a + b)/2 · h
S = m · h
9.1 Основания трапеции равны 24 и 18, высота — 4. Найдите площадь трапеции.

Решение:

1) S = (a + b)/2 · h

2) S = (24 + 18)/2 · 4 = 42/2 · 4 = 21 · 4 = 84

Ответ: 84

9.2 Основания трапеции равны 5 и 22, высота — 2. Найдите площадь трапеции.

Решение:

1) S = (5 + 22)/2 · 2 = 27/2 · 2 = 27

Ответ: 27

9.3 Средняя линия и высота трапеции равны соответственно 5 и 2. Найдите площадь трапеции.

Решение:

1) S = m · h

2) S = 5 · 2 = 10

Ответ: 10

9.4 Средняя линия и высота трапеции равны соответственно 6 и 13. Найдите площадь трапеции.

Решение:

1) S = 6 · 13 = 78

Ответ: 78

10 Задачи на периметр и построения

10.1 Прямая, проведённая параллельно боковой стороне трапеции через конец меньшего основания, равного 8, отсекает треугольник, периметр которого равен 17. Найдите периметр трапеции.

Решение:

1) Пусть в трапеции ABCD (BC∥AD) проведена прямая CE∥AB через точку C (конец меньшего основания BC = 8)

2) Образуется параллелограмм ABCE (AB∥CE по построению, AE∥BC по условию трапеции)

3) В параллелограмме противоположные стороны равны: CE = AB, AE = BC = 8

4) Отсечённый треугольник CDE имеет стороны: DE, CD, и CE = AB

5) Периметр треугольника: PΔCDE = CD + CE + DE = 17

6) Периметр трапеции: PABCD = AB + BC + CD + AD

7) Заметим, что AD = AE + ED = 8 + DE

8) Тогда PABCD = AB + 8 + CD + (8 + DE) = (AB + CD + DE) + 16 = 17 + 16 = 33

Ответ: 33

✅ Использовано свойство: При проведении прямой, параллельной боковой стороне, образуется параллелограмм

10.2 Прямая, проведённая параллельно боковой стороне трапеции через конец меньшего основания, равного 5, отсекает треугольник, периметр которого равен 24. Найдите периметр трапеции.

Решение:

1) Аналогично предыдущей задаче: при проведении CE∥AB образуется параллелограмм ABCE

2) В параллелограмме: CE = AB, AE = BC = 5

3) Периметр отсечённого треугольника CDE: PΔ = CD + CE + DE = 24

4) Периметр трапеции: P = AB + BC + CD + AD = AB + 5 + CD + (5 + DE)

5) Так как AB = CE, то P = (CE + CD + DE) + 10 = 24 + 10 = 34

Ответ: 34

✅ Использовано свойство: При проведении прямой, параллельной боковой стороне, образуется параллелограмм с равными противоположными сторонами

10.3 Окружность вписана в трапецию, боковые стороны которой равны 3 и 4. Найдите среднюю линию трапеции.

Решение:

1) Условие вписанной окружности: a + b = c + d

2) Дано: c = 3, d = 4 ⇒ a + b = 3 + 4 = 7

3) Средняя линия: m = (a + b)/2 = 7/2 = 3.5

Ответ: 3.5

10.4 Окружность вписана в трапецию, периметр которой равен 30. Найдите длину её средней линии.

Решение:

1) В описанной трапеции: a + b = c + d

2) Периметр: P = a + b + c + d = (a+b) + (c+d) = 2(a+b)

3) 2(a+b) = 30 ⇒ a+b = 15

4) Средняя линия: m = (a+b)/2 = 15/2 = 7.5

Ответ: 7.5

10.5 Средняя линия трапеции равна 24. Одна из диагоналей трапеции делит среднюю линию в отношении 2:3. Найдите большее основание трапеции.

Решение:

1) Средняя линия KL делится диагональю в отношении 2:3

2) Пусть KM = 2x, ML = 3x, тогда KL = 5x = 24

3) Отсюда x = 24/5 = 4.8

4) KM = 2x = 9.6, ML = 3x = 14.4

5) Отрезок KM — средняя линия △ABC ⇒ BC = 2·KM = 2×9.6 = 19.2

6) Отрезок ML — средняя линия △ACD ⇒ AD = 2·ML = 2×14.4 = 28.8

7) Ответ: большее основание AD = 28.8

11 Практикум: сложные задачи

11.1 В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Высота трапеции равна 10. Найдите площадь трапеции.

Решение:

1) В равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями: h = m

2) Значит, m = 10

3) S = m × h = 10 × 10 = 100

Ответ: 100

11.2 В трапеции основания 8 и 12, боковые стороны 5 и 7. Можно ли вписать в неё окружность? Можно ли описать около неё окружность?

Решение:

1) Для вписанной окружности: a + b = c + d ⇒ 8+12 = 5+7 ⇒ 20 = 12 ⇒ НЕТ

2) Для описанной окружности нужна равнобедренная трапеция ⇒ 5 ≠ 7 ⇒ НЕТ

Ответ: Нельзя ни вписать, ни описать

💡 Алгоритм решения задач:
  1. Определить тип трапеции (произвольная, прямоугольная, равнобедренная)
  2. Проверить возможность вписанной/описанной окружности
  3. Использовать свойства диагоналей (подобие треугольников)
  4. Применить формулы средней линии и площади
  5. Для равнобедренной — использовать симметрию и равенство углов
  6. Запомнить: Отрезок между серединами диагоналей = |b-a|/2

Полезно помнить:

  • В описанной трапеции h = 2r
  • В равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями h = m
  • В равнобедренной трапеции AH = (AD-BC)/2, HD = (AD+BC)/2
Прокрутить вверх