Основные понятия

Вектор — направленный отрезок, характеризующийся длиной (модулем) и направлением. На плоскости вектор определяется координатами: \(\vec{a} = (x_a, y_a)\).

Сумма векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) — это такой вектор \(\vec{c}\), что если отложить векторы последовательно, то вектор \(\vec{c}\) будет замыкающим:

\(\vec{a} + \vec{b} = \vec{c}\)

Сложение векторов коммутативно и ассоциативно:

\(\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a} \quad \text{и} \quad (\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})\)

Свойства и формулы

Сложение через координаты
\(\vec{a} + \vec{b} = (x_a + x_b, y_a + y_b)\)
Модуль суммы
\(|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{(x_a + x_b)^2 + (y_a + y_b)^2}\)
Нулевой вектор
\(\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}\)
Противоположный вектор
\(\vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0}\)

Приемы вычисления

1. Правило треугольника

Для сложения двух векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) по правилу треугольника нужно от конца вектора \(\vec{a}\) отложить вектор \(\vec{b}\). Тогда суммарный вектор \(\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}\) будет направлен из начала вектора \(\vec{a}\) в конец вектора \(\vec{b}\).

2. Правило параллелограмма

При сложении векторов по правилу параллелограмма векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) откладываются из общего начала. На этих векторах строится параллелограмм. Диагональ параллелограмма, исходящая из общего начала векторов, является суммой \(\vec{a} + \vec{b}\).

3. Сложение через координаты

Сумма векторов \(\vec{a} = (x_a, y_a)\) и \(\vec{b} = (x_b, y_b)\) равна вектору с координатами:

\(\vec{a} + \vec{b} = (x_a + x_b, y_a + y_b)\)

Этот метод наиболее удобен для аналитических вычислений.

Демонстрация

Измените координаты векторов (в единицах координатной сетки) и выберите метод сложения, чтобы увидеть результат.

Каждая единица соответствует одной клетке сетки.

XA = 3
YA = 2
XB = 2
YB = 4

Примеры для изучения:

Результат сложения

Вектор A: (3, 2), модуль: 3.61

Вектор B: (2, 4), модуль: 4.47

Сумма A + B: (5, 6), модуль: 7.81

Сумма B + A: (5, 6), модуль: 7.81

Коммутативность: A + B = B + A = (5, 6)