Спорт: расчет траектории мяча (парабола)

От /

Как летит мяч?

Когда вы бросаете мяч под углом, он движется по параболе из-за:

  • Горизонтальной скорости (постоянна, если нет сопротивления воздуха)
  • Вертикальной скорости (меняется под действием силы тяжести g=9.8 м/с^2)

Базовые понятия:

  1. Траектория мяча — парабола
  2. Уравнение параболы: y = ax² + bx + c
  3. Ключевые точки:
    • Старт: (0; 0)
    • Вершина: (x₀; y₀)
    • Конец: (L; 0), где L — дальность полета

Пример задачи

Условие:
Мяч бросили со скоростью 10 м/с. Он достиг максимальной высоты 2.5 м и упал на расстоянии 10 м. Найти уравнение траектории.

Решение по шагам

1. Записываем известные точки:

  • Старт: (0; 0) → c = 0
  • Вершина: (5; 2.5) [середина между 0 и 10]
  • Конец: (10; 0)

2. Используем формулу с вершиной:

y = a(x - x₀)² + y₀

Подставляем вершину (5; 2.5):

y = a(x - 5)² + 2.5

3. Находим коэффициент a:
Используем точку падения (10; 0):

0 = a(10 - 5)² + 2.5
0 = 25a + 2.5
25a = -2.5
a = -0.1

4. Получаем уравнение:

y = -0.1(x - 5)² + 2.5

Раскрываем скобки:

y = -0.1x² + x - 2.5 + 2.5
y = -0.1x² + x

Проверка решения

x (м)Расчет yРезультат
0-0.1×0 + 00 (старт)
5-0.1×25 + 52.5 (вершина)
10-0.1×100 + 100 (падение)

Практическое применение

Зная уравнение, можно рассчитать:

  1. Высоту мяча на расстоянии 3 м: y = -0.1×9 + 3 = 2.1 м
  2. Расстояние, когда мяч был на высоте 1 м: 1 = -0.1x² + x 0.1x² — x + 1 = 0 x₁ ≈ 1.13м, x₂ ≈ 8.87м

Попробуйте сами

  1. Мяч достиг высоты 4 м и упал на 12 м. Найти уравнение.
    • Ответ: y = -0.11x² + 1.33x
  2. По уравнению y = -0.05x² + 0.8x найти:
    • Максимальную высоту
    • Дальность полета
    • Ответы: 3.2 м; 16 м

Вывод: Квадратные уравнения позволяют точно моделировать спортивные траектории. Это полезно в футболе, баскетболе и при создании игр!

Прокрутить вверх