Сравнение чисел с корнем: степени корней равные

От /

Существует несколько эффективных приемов для сравнения корней, в том числе арифметических квадратных корней. Разберем основные из них с примерами.

Основное правило сравнения корней

Формулировка: Для любых двух неотрицательных чисел a и b и натурального n верно: Если a > b, то ⁿ√a > ⁿ√b.

СлучайУсловиеПравило сравненияПример
Оба подкоренных выражения положительныеa > 0, b > 0, a > bⁿ√a > ⁿ√b√10 > √7 (т.к. 10 > 7)
Одно из выражений равно нулюa > 0, b = 0ⁿ√a > 0 (любой корень из положительного числа > 0)√5 > 0 (т.к. 5 > 0)
Оба выражения равныa = bⁿ√a = ⁿ√b√9 = √9
Сравнение с единицейa > 1ⁿ√a > 1∛8 > 1 (т.к. 8 > 1)
Сравнение с единицей0 < a < 1ⁿ√a < 1√0.25 < 1 (т.к. 0.25 < 1)

Объяснение: Функция f(x) = ⁿ√x является возрастающей на промежутке [0, +∞). Это означает, что большему значению аргумента (x) соответствует большее значение функции (y).

Важное ограничение: если показатель корня чётный (2, 4, 6...), то мы имеем дело с арифметическим корнем, который извлекается только из неотрицательного числа и сам даёт неотрицательный результат. Сравнивать можно только неотрицательные подкоренные выражения:

  • √8 и √15 можно сравнить (8 < 15).
  • √-5 и √-3 — сравнивать бессмысленно, так как эти выражения не определены в действительных числах.

Сравнение свойств чётных и нечётных корней

СвойствоЧётный показатель корня (n = 2, 4, 6...)Нечётный показатель корня (n = 3, 5, 7...)
Обозначениеⁿ√a — арифметический кореньⁿ√a — корень нечётной степени
Область определенияa ≥ 0 (из отрицательного числа не извлекается)a ∈ R (любое действительное число)
Область значенийⁿ√a ≥ 0 (всегда неотрицателен)ⁿ√a ∈ R (может быть любым числом)
Пример√4 = 2 (но не -2)∛8 = 2, ∛(-8) = -2
График функцииСуществует только в правой полуплоскости (x ≥ 0)Существует на всей числовой прямой, симметричен относительно начала координат
Сравнение (для a > 0)Чем больше a, тем больше корень.
√a > √b ⇔ a > b		Чем больше a, тем больше корень.
∛a > ∛b ⇔ a > b
Сравнение (для a < 0)Не определено.
√(-5) — не существует		Чем больше a, тем больше корень.
∛(-5) > ∛(-8), т.к. -5 > -8
Сравнение с единицей√a > 1 ⇔ a > 1
√a < 1 ⇔ a < 1		∛a > 1 ⇔ a > 1
∛a < 1 ⇔ a < 1
Важное тождествоⁿ√(aⁿ) = |a| (модуль!)ⁿ√(aⁿ) = a

Как это применять на практике?

Правило 1: Если вы сравниваете два корня с одинаковым ЧЁТНЫМ показателем

  • Убедитесь, что оба подкоренных выражения неотрицательны.
  • Сравните подкоренные выражения. То, которое больше, даст и больший корень.
  • Пример: √10 и √7. 10 > 7 ⇒ √10 > √7.

Правило 2: Если вы сравниваете два корня с одинаковым НЕЧЁТНЫМ показателем

  • Подкоренные выражения могут быть любыми.
  • Сравните подкоренные выражения. То, которое больше, даст и больший корень. Это работает как для положительных, так и для отрицательных чисел.
  • Пример: ∛(-10) и ∛(-20). -10 > -20 ⇒ ∛(-10) > ∛(-20).

Правило 3: Если вы сравниваете корень с числом

  • Для чётных корней: искомое число должно быть неотрицательным.
  • Для нечётных корней: число может быть любым.
  • Пример (чётный): √x > 5. Решение: x > 25.
  • Пример (нечётный): ∛x > -5. Решение: x > -125.

Всегда сначала определяйте, с каким видом корня вы имеете дело! Это избавит от многих ошибок.

Сравните, используя основное правило:

  1. √15 и √10
  2. ∛100 и ∛64
  3. ⁴√90 и ⁴√80
  4. √0.49 и √0.36
  5. ∛0.027 и ∛0.008
  6. √(a² + 2) и √(a² + 1) (для любого a)
  7. √5 и 0 (используйте условие)
  8. √7 и √7 (используйте условие)
  9. ∛30 и ∛27
  10. √200 и √196
Ответы для самопроверки
  1. √15 > √10 (Подкоренные: 15 > 10)
  2. ∛100 > ∛64 (Подкоренные: 100 > 64)
  3. ⁴√90 > ⁴√80 (Подкоренные: 90 > 80)
  4. √0.49 > √0.36 (Подкоренные: 0.49 > 0.36. √0.49 = 0.7, √0.36 = 0.6)
  5. ∛0.027 > ∛0.008 (Подкоренные: 0.027 > 0.008. ∛0.027 = 0.3, ∛0.008 = 0.2)
  6. √(a² + 2) > √(a² + 1) (Для любого a верно a² + 2 > a² + 1)
  7. √5 > 0 (Любой корень из положительного числа больше нуля)
  8. √7 = √7 (Подкоренные выражения равны)
  9. ∛30 > ∛27 (Подкоренные: 30 > 27. ∛27 = 3)
  10. √200 > √196 (Подкоренные: 200 > 196. √196 = 14)

Все остальные приёмы (возведение в степень, умножение на сопряжённое) являются производными от этого основного свойства монотонности функции извлечения корня. Рассмотрим подробнее.

Если оба сравниваемых выражения неотрицательны, то большему числу соответствует больший квадрат. И наоборот: если квадрат одного числа больше квадрата другого, то и само число больше.

Правило 1: a > b тогда и только тогда, когда a² > b².

Это означает, что для неотрицательных чисел операция возведения в квадрат сохраняет порядок.

Почему это работает?

Функция f(x) = x² на промежутке [0, +∞) является возрастающей. Это значит, что чем больше аргумент, тем больше значение функции.

Графическая иллюстрация:
Представьте параболу y = x² для x ≥ 0. Она идет вверх направо. Чем дальше точка по оси X, тем она выше по оси Y.

Возведение в квадрат — это самый частый, надёжный и универсальный приём для сравнения выражений с квадратными корнями. 

Пример 1: Простое сравнение корней

Сравните: √15 и √10

  1. Оба выражения заведомо положительны.
  2. Возводим в квадрат: (√15)² = 15, (√10)² = 10.
  3. Сравниваем: 15 > 10.
  4. Вывод: √15 > √10.

Пример 2: Сравнение корня и числа

Сравните: √50 и 7

  1. √50 > 0, 7 > 0.
  2. Возводим в квадрат: (√50)² = 50, 7² = 49.
  3. Сравниваем: 50 > 49.
  4. Вывод: √50 > 7.

Пример 3: Сравнение выражений с коэффициентами

Сравните: 2√5 и 3√2

  1. Оба выражения положительны.
  2. Возводим в квадрат:
    • (2√5)² = 4 * 5 = 20
    • (3√2)² = 9 * 2 = 18
  3. Сравниваем: 20 > 18.
  4. Вывод: 2√5 > 3√2.

Пример 4: Сравнение сумм корней

Сравните: √7 + √10 и √8 + √9

  1. Все слагаемые положительны, значит, и суммы положительны.
  2. Возводим в квадрат (используем формулу (a + b)² = a² + 2ab + b²):
    • (√7 + √10)² = 7 + 10 + 2√70 = 17 + 2√70
    • (√8 + √9)² = 8 + 9 + 2√72 = 17 + 2√72
  3. Теперь сравниваем результаты возведения в квадрат. Обе части содержат 17 + .... Сравниваем оставшиеся слагаемые:
    • 2√70 и 2√72. Так как 70 < 72, то 2√70 < 2√72.
  4. Следовательно, 17 + 2√70 < 17 + 2√72.
  5. Вывод: Так как мы возводили положительные выражения в квадрат, знак сохраняется. Значит, √7 + √10 < √8 + √9.

⚠️ Важные предупреждения и ограничения

  1. Нельзя возводить в квадрат, если выражения могут быть отрицательными.
    • Пример: Сравните √5 и -10. √5 — положительный, -10 — отрицательный. Очевидно, что √5 > -10. Возводить в квадрат здесь бессмысленно и приведет к неверному выводу (5 < 100).
  2. Если оба выражения отрицательны, при возведении в квадрат знак неравенства меняется на противоположный.
    • Пример: Сравните -√5 и -√10 (оба отрицательны). Мы знаем, что √5 < √10, значит, -√5 > -√10. Если возвести в квадрат, получим 5 и 10. 5 < 10, но так как мы возводили отрицательные выражения, исходный знак > меняется на <.

Таблица-памятка

Исходное сравнение Сравнение после возведения в квадратМожно ли так делать?
a > ba² > b²Да (порядок сохраняется)
a < ba² < b²Да (порядок сохраняется)
a = ba² = b²Да
a > ba² < b²Нет! (Так может быть, если a или b отрицательны)

Сравните выражения, используя возведение в квадрат:

  1. √21 и √19
  2. √65 и 8
  3. 4√3 и 3√5
  4. √7 + √2 и √6 + √3
  5. √(10² + 24²) и 26 
  6. 2√6 и √26
  7. √5 - √3 и 1
  8. √(0.09) и 0.3
  9. √(a² + 1) и |a| (для любого действительного a)
  10. √(x² + y²) и |x| + |y| (для любых x, y)
 Ответы для самопроверки
  1. √21 > √19 (т.к. 21 > 19)
  2. √65 > 8 (т.к. 65 > 64)
  3. 4√3 > 3√5 (т.к. 48 > 45)
  4. √7 + √2 > √6 + √3 (Возведите в квадрат и сравните 9 + 2√14 и 9 + 2√18. 2√14 < 2√18, но вся сумма больше? Нет, значит исходная сумма меньше. Неверно! Давайте решим:
    (√7+√2)² = 9+2√14≈9+7.48=16.48
    (√6+√3)²=9+2√18≈9+8.49=17.49
    16.48 < 17.49 ⇒ √7+√2 < √6+√3)
  5. √(10² + 24²) = √676 = 26
  6. 2√6 > √26 (т.к. 24 > 26? 24 < 26 ⇒ 2√6 < √26. Верный ответ: 2√6 < √26)
  7. √5 - √3 < 1 (т.к. (√5-√3)²=8-2√15≈8-7.75=0.25, а 1²=1)
  8. √0.09 = 0.3
  9. √(a² + 1) > |a| (т.к. a² + 1 > a²)
  10. √(x² + y²) ≤ |x| + |y| (Это неравенство треугольника. Равенство достигается, только когда x или y равно нулю).

Если у вас есть два выражения вида k₁√a и k₂√a (то есть подкоренные выражения одинаковы), то их сравнение сводится к сравнению коэффициентов k₁ и k₂.

Правило 2: k₁√a > k₂√a тогда и только тогда, когда k₁ > k₂.

Аналогично для знаков < и =.

Пример 1: Сравните 5√3 и 3√3

  • Подкоренные выражения одинаковы: 3.
  • Сравниваем коэффициенты: 5 и 3.
  • 5 > 3 ⇒ 5√3 > 3√3.

Пример 2: Сравните -2√5 и -5√5

  • Подкоренные выражения одинаковы: 5.
  • Сравниваем коэффициенты: -2 и -5.
  • -2 > -5 ⇒ -2√5 > -5√5.

Пример 3: Сравните √7 и 2√7

  • Помним, что √7 — это 1 * √7.
  • Подкоренные выражения одинаковы: 7.
  • Сравниваем коэффициенты: 1 и 2.
  • 1 < 2 ⇒ √7 < 2√7.

⚠️ Важное исключение:

Это правило работает только если подкоренное выражение положительно (a > 0), чтобы мы могли делить на √a не меняя знак. Если a = 0, то оба выражения равны нулю.

Сравните выражения, используя возведение в квадрат:

  1. 10√2 и 5√2
  2. -4√10 и -√10
  3. 0.5√6 и 0.3√6
  4. (1/3)√15 и (2/3)√15
  5. 100√0.1 и 50√0.1
  6. √11 и 2√11 (не забудьте, что у первого коэффициент 1)
  7. -7√3 и -10√3
  8. a√b и c√b (при условии, что b > 0)
Ответы для самопроверки
  1. 10√2 > 5√2 (т.к. 10 > 5)
  2. -4√10 < -√10 (т.к. -4 < -1)
  3. 0.5√6 > 0.3√6 (т.к. 0.5 > 0.3)
  4. (1/3)√15 < (2/3)√15 (т.к. 1/3 < 2/3)
  5. 100√0.1 > 50√0.1 (т.к. 100 > 50)
  6. √11 < 2√11 (т.к. 1 < 2)
  7. -7√3 > -10√3 (т.к. -7 > -10)
  8. Если a > c, то a√b > c√b. Если a < c, то a√b < c√b. Если a = c, то выражения равны.

Правило 3: √(a² * b) > √(c² * d) тогда и только тогда, когда a² * b > c² * d

Если коэффициенты и подкоренные выражения разные, удобно внести множители под знак корня (возведя их в квадрат), чтобы сравнивать только подкоренные числа.

ДействиеФормулаПример
Внесение множителя под кореньa * √b = √(a² * b), где a ≥ 03√5 = √(9 * 5) = √45
Вынесение множителя из-под корня√(a² * b) = a√b, где a ≥ 0√50 = √(25 * 2) = 5√2

Если нужно сравнить два выражения вида a√b и c√d, где и коэффициенты (a, c), и подкоренные выражения (b, d) разные, поступаем так:

  1. Вносим множители под корень:
    • a√b = √(a² * b)
    • c√d = √(c² * d)
  2. Теперь задача свелась к сравнению обычных квадратных корней:
    • √(a² * b) и √(c² * d)
  3. Так как функция квадратного корня возрастает, то:
    • √(a² * b) > √(c² * d) тогда и только тогда, когда a² * b > c² * d

Таким образом, вместо сравнения двух корней с разными параметрами мы сравниваем два обычных числа: a² * b и c² * d.

Этот прием по сути является разновидностью возведения в квадрат, но иногда так нагляднее.

⚠️ Важное исключение:

Это правило работает только для неотрицательных множителей (a ≥ 0). Если множитель отрицательный, то прежде чем вносить его под корень, нужно учесть знак. Например, -3√5 = -√45.

Пример 1: Простое вынесение множителя

Сравните: √50 и 7

  1. Упростим √50, вынося множитель:
    √50 = √(25 * 2) = 5√2
  2. Теперь задача свелась к сравнению 5√2 и 7.
  3. Разделим обе части на 5: сравним √2 и 7/5 = 1.4.
  4. Мы знаем, что √2 ≈ 1.414.
  5. 1.414 > 1.4 ⇒ √2 > 1.4 ⇒ 5√2 > 7 ⇒ √50 > 7.

Пример 2: Сравнение двух сложных корней

Сравните: 2√5 и 3√2

  1. Можно внести множители под корень, чтобы избавиться от коэффициентов:
    • 2√5 = √(4 * 5) = √20
    • 3√2 = √(9 * 2) = √18
  2. Теперь задача свелась к сравнению √20 и √18.
  3. Так как 20 > 18, то √20 > √18.
  4. Вывод: 2√5 > 3√2.

Пример 3: Сравнение корня и суммы

Сравните: √12 и √3 + √2

  1. Упростим √12, вынося множитель:
    √12 = √(4 * 3) = 2√3
  2. Теперь сравним 2√3 и √3 + √2.
  3. Вычтем √3 из обеих частей: сравним √3 и √2.
  4. Очевидно, что √3 > √2.
  5. Вывод: √12 > √3 + √2.

Сравните выражения, используя вынесение/внесение множителя:

  1. √75 и 5√3
  2. 3√2 и 2√3
  3. √200 и 10√2
  4. 6√5 и 5√6
  5. √8 + √18 и √50
  6. √12 - √3 и √2
  7. 2√7 и √28
  8. √45 + √20 и 5√5
  9. √0.5 и 0.5√2
  10. a√b и b√a (для a > b > 0)

Сравнение с промежуточным числом-«буфером»

Часто бывает сложно напрямую сравнить два сложных выражения (особенно с корнями). Метод «буфера» позволяет разбить задачу на два более простых шага:

  1. Подобрать такое число C (буфер), которое легко сравнивается с обоими выражениями.
  2. Доказать два отдельных неравенства:
    • A < C
    • C < B
  3. На основании свойства транзитивности неравенств (если A < C и C < B, то A < B) сделать вывод.

Этот метод особенно полезен, когда одно выражение чуть больше круглого числа, а другое — чуть меньше.

Число C в этом случае и называется «буфером» или промежуточным числом.

Сравните: √75 и 9.1

  1. Подберем «буфер» — число 9. Мы знаем, что √81 = 9.
  2. Сравним:
    • √75 < √81 = 9 (т.к. 75<81)
    • 9 < 9.1
  3. По свойству транзитивности неравенств (если A < B и B < C, то A < C), из доказанных фактов следует:
    √75 < 9 < 9.1 ⇒ √75 < 9.1

Прокрутить вверх