Сравнение чисел с корнем: степени корней разные

От /

Когда подкоренные выражения одинаковы (a = b), но показатели корней разные (n ≠ m), правило сравнения подкоренных выражений не работает. Вместо него нужно использовать правило, которое зависит от величины подкоренного выражения относительно единицы.

Основное правило сравнения

Сравниваем ⁿ√a и ᵐ√a.

СлучайУсловиеПравилоПример
1. a > 1Подкоренное выражение больше 1Чем меньше показатель корня, тем больше корень.
ⁿ√a > ᵐ√a ⇔ n < m		√5 > ∛5 > ∜5
2. 0 < a < 1Подкоренное выражение меньше 1 (но положительное)Чем больше показатель корня, тем больше корень.
ⁿ√a < ᵐ√a ⇔ n < m		∜0.16 > ∛0.16 > √0.16
3. a = 1Подкоренное выражение равно 1Все корни равны 1.
ⁿ√1 = ᵐ√1 = 1		√1 = ∛1 = ∜1 = 1

Почему так? Потому что извлечение корня — это операция, обратная возведению в степень. Чем больше показатель корня, тем «сильнее» он уменьшает число (если оно больше 1) и «сильнее» увеличивает (если оно между 0 и 1).

Сравните: √5 и ∛5

  1. Подкоренное выражение одинаковое: 5 > 1.
  2. Показатели корней: 2 и 3.
  3. Так как 2 < 3, то корень с меньшим показателем будет больше.
  4. Вывод:√5 > ∛5.
  5. Проверка: √5 ≈ 2.236, ∛5 ≈ 1.71.

Сравните: ∜10 и ∛10

  1. Подкоренное выражение: 10 > 1.
  2. Показатели: 4 и 3.
  3. Так как 4 > 3, то корень с бóльшим показателем будет меньше.
  4. Вывод:∜10 < ∛10
  5. Проверка: ∜10 ≈ 1.778, ∛10 ≈ 2.154. 

Сравните: √0.25 и ∛0.25

  1. Подкоренное выражение: 0.25 (это 0 < 0.25 < 1).
  2. Показатели: 2 и 3.
  3. Для чисел меньше 1 правило обратное: чем больше показатель, тем больше корень.
  4. Так как 3 > 2, то ∛0.25 > √0.25.
  5. Вывод:∛0.25 > √0.25
  6. Проверка: √0.25 = 0.5, ∛0.25 ≈ 0.63.

Универсальный прием. Приведение корней к общей степени

Если показатели степени и подкоренные выражения разные, то нужно найти наименьшее общее кратное для показателей корней и возвести оба выражения в степень, равную наименьшему общему кратному.

Основные шаги:

  1. Найдите общий показатель степени — наименьшее общее кратное (НОК) чисел n и m: k = НОК(n, m).
  2. Возведите оба выражения в степень k.
  3. Сравните результаты.
  4. Сделайте вывод о исходных выражениях, учитывая чётность степени k и знаки выражений.

Этот метод работает всегда, для любых a.

Сравните √5 и ∛5

  1. Показатели: 2 и 3. НОК(2, 3) = 6.
  2. Возведем оба выражения в 6-ю степень:
    • (√5)⁶ = (5^(1/2))⁶ = 5³ = 125
    • (∛5)⁶ = (5^(1/3))⁶ = 5² = 25
  3. 125 > 25, значит, √5 > ∛5.

Сравните ∛26 и √5

  1. НОК(3, 2) = 6.
  2. (∛26)⁶ = 26² = 676
  3. (√5)⁶ = 5³ = 125
  4. Получаем: 676 > 125
  5. Поскольку мы возводили оба положительных выражения в четную степень, знак неравенства сохраняется. Из того, что (∛26)⁶ > (√5)⁶, следует:
    ∛26 > √5

Сравните, не вычисляя точные значения (используйте правила выше):

  1. √7 и ∛7
  2. ∛0.5 и √0.5
  3. ⁴√20 и √5 
  4. ∜81 и √9
  5. √0.01 и ∛0.01
  6. ⁵√32 и √2
  7. ∛0.001 и √0.1
  8. √1.44 и ∛1.728
  9. ⁴√10000 и √100
  10. ∛64 и √16
Ответы для самопроверки

  1. √7 > ∛7 (7 > 1, показатель 2 < 3)
  2. ∛0.5 > √0.5 (0.5 < 1, показатель 3 > 2)
  3. ⁴√20 < √5 (20 > 1, показатель 4 > 2. Можно возвести в 4-ю степень: (⁴√20)^4 = 20, (√5)^4 = 25, 20 < 25)
  4. ∜81 = √9 (∜81 = 3, √9 = 3)
  5. √0.01 < ∛0.01 (0.01 < 1, показатель 2 < 3)
  6. ⁵√32 = √2 (⁵√32 = 2, √2 ≈ 1.414, значит ⁵√32 > √2)
  7. ∛0.001 < √0.1 (∛0.001 = 0.1, √0.1 ≈ 0.316)
  8. √1.44 = ∛1.728 (√1.44 = 1.2, ∛1.728 = 1.2)
  9. ⁴√10000 = √100 (⁴√10000 = 10, √100 = 10)
  10. ∛64 < √16 (∛64 = 4, √16 = 4, значит равны)

Сравнение с единицей или другим удобным числом

Сравнение с единицей — это мощный и быстрый приём, который позволяет определить значение корня без точных вычислений. Он особенно полезен, когда нужно быстро оценить, находится ли выражение в определённом диапазоне.

Сравнить выражение с числом k (чаще всего с 1) — значит, определить, больше оно k, меньше или равно. Часто это можно сделать, анализируя подкоренное выражение.

Единица — особое число. Помним:

  • 1^n = 1 для любого n.
  • √1 = 1, ∛1 = 1, и т.д.

Основная идея:

  • Если a > 1, то √a > 1 (чем больше a, тем больше корень).
  • Если 0 < a < 1, то √a < 1 (чем меньше a, тем меньше корень).
  • Если a = 1, то √a = 1.

Часто это можно сделать, возведя оба выражения в степень, равную показателю корня.

Сравните ∛5 и 1

  1. Мы знаем, что ∛1 = 1.
  2. Сравниваем подкоренное выражение с 1: 5 > 1.
  3. Функция кубического корня — возрастающая.
  4. Вывод: ∛5 > 1.

Сравните √0.25 и 1

  1. √1 = 1.
  2. Сравниваем: 0.25 < 1.
  3. Функция квадратного корня — возрастающая.
  4. Вывод: √0.25 < 1 (и действительно, 0.5 < 1).

Часто удобно сравнивать не с 1, а с числом, которое является точной степенью.

Сравните √10 и 3

  1. Число 3 — это √9 (удобное число!).
  2. Теперь наша задача свелась к сравнению √10 и √9.
  3. Так как показатели корней одинаковы (2), сравниваем подкоренные выражения: 10 > 9.
  4. Вывод: √10 > 3.

Сравните ∛60 и 4

  1. Найдем число, куб которого близок к 60. 4³ = 64, 3³ = 27.
  2. 64 > 60, значит, 4 > ∛60 (поскольку 4 = ∛64, а 64 > 60).
  3. Вывод: ∛60 < 4.

Сравните ∛8 и 2

  • Заметим, что 2 = ∛8 (так как 2³ = 8).
  • Значит, ∛8 = 2.

Подсказки:

  • Для квадратных корней полезно помнить квадраты целых чисел:
    1²=1, 2²=4, 3²=9, 4²=16, 5²=25, 6²=36, 7²=49, 8²=64, 9²=81, 10²=100, 11²=121, 12²=144.
  • Для кубических корней полезно помнить кубы целых чисел:
    1³=1, 2³=8, 3³=27, 4³=64, 5³=125, 6³=216, 7³=343, 8³=512, 9³=729, 10³=1000.

Сравните, используя сравнение с единицей или другим удобным числом:

  1. √7 и 1
  2. ∛0.125 и 1
  3. √50 и 7
  4. ∛30 и 3
  5. √0.9 и 1
  6. ∛100 и 5
  7. √120 и 11
  8. ∛0.05 и 0.5
  9. √200 и 14
  10. ∛1000 и 10
Ответы для самопроверки

  1. √7 > 1 (так как 7 > 1)
  2. ∛0.125 < 1 (так как 0.125 < 1)
  3. √50 > 7 (так как 50 > 49 = 7²)
  4. ∛30 > 3 (так как 30 > 27 = 3³)
  5. √0.9 < 1 (так как 0.9 < 1)
  6. ∛100 < 5 (так как 100 < 125 = 5³)
  7. √120 > 11 (так как 120 > 121 = 11²)
  8. ∛0.05 < 0.5 (так как 0.05 < 0.125 = 0.5³)
  9. √200 > 14 (так как 200 > 196 = 14²)
  10. ∛1000 = 10 (так как 10³ = 1000)

Логарифмирование (для очень больших чисел)

Если числа очень велики и их сложно возводить в степень, можно сравнить их логарифмы (обычно натуральные ln или десятичные lg)

Алгоритм:
Чтобы сравнить √[n](a) и √[m](b), сравним их логарифмы.
ln(√[n](a)) = (1/n) * ln(a)
ln(√[m](b)) = (1/m) * ln(b)

Теперь нужно сравнить два выражения (ln a)/n и (ln b)/m.

Алгоритм выбора метода

  1. Есть общий показатель? (Например, ⁶√5 и ⁶√10) -> Сравниваем подкоренные выражения.
  2. Нет общего показателя? -> Пробуем привести к общему показателю или возвести в степень НОК. Это самый надежный и универсальный способ.
  3. Числа меньше 1? -> Помним, что для чисел 0 < x < 1 верно: чем больше показатель корня, тем больше результат (⁵√0.1 > ³√0.1).
  4. Можно сделать оценку? -> Пытаемся понять, больше ли хотя бы один корень 1, 2, 10 и т.д.
  5. Числа очень большие? -> Используем логарифмы.

Источник: https://maths.spb.ru/theme/sravn_k.pdf

Прокрутить вверх