Сравнение выражений с дробями

От /

Сравнение выражений с дробями — это следующий уровень сложности после сравнения обычных дробей. Здесь нужно не просто сравнить два числа, а упростить, вычислить или преобразовать выражения, чтобы найти между ними связь (>, <, =).

Вот основные типы задач и стратегии их решения.

1. Выражения с одинаковыми операциями

Суть: Если выражения устроены одинаково, можно сравнивать их «по частям».

Пример 1: Что больше: 3/5 + 1/10 или 2/5 + 3/10?

  • Способ 1 (Вычислить):
    • 3/5 + 1/10 = 6/10 + 1/10 = 7/10
    • 2/5 + 3/10 = 4/10 + 3/10 = 7/10
    • Вывод: 3/5 + 1/10 = 2/5 + 3/10
  • Способ 2 (Сравнить слагаемые):
    • Первое слагаемое: 3/5 > 2/5
    • Второе слагаемое: 1/10 < 3/10
    • Увеличение первого слагаемого компенсировалось уменьшением второго. Нужно вычислять.

Пример 2: Что больше: 7/8 - 1/4 или 5/8 - 1/8?

  • 7/8 - 1/4 = 7/8 - 2/8 = 5/8
  • 5/8 - 1/8 = 4/8 = 1/2
  • 5/8 > 4/8, значит, 7/8 - 1/4 > 5/8 - 1/8

2. Выражения с умножением и делением

Здесь ключевую роль играют свойства умножения и правила сравнения с единицей.

Пример 3: Сравните, не вычисляя: 25/26 * 10/9 и 25/26

  • Мы видим общий множитель 25/26.
  • Второй множитель в первом выражении — 10/9.
  • 10/9 > 1 (неправильная дробь).
  • Правило: При умножении числа на дробь, большую единицы, результат увеличивается.
  • Вывод: 25/26 * 10/9 > 25/26

Пример 4: Сравните: 5/7 : 3/4 и 5/7

  • Деление на дробь 3/4 можно заменить на умножение на обратную дробь 4/3.
  • Исходное выражение превращается в 5/7 * 4/3.
  • 4/3 > 1, значит, 5/7 * 4/3 > 5/7.
  • Вывод: 5/7 : 3/4 > 5/7

Пример 5: Сравните: 12/13 * 11/12 и 11/13

  • Упростим левую часть: (12 * 11) / (13 * 12) = 11/13.
  • Вывод: 12/13 * 11/12 = 11/13

3. Сравнение выражения с числом (часто с 1)

Это очень частый случай. Нужно определить, больше или меньше результат выражения единицы.

Пример 6: Сравните с единицей: 15/16 : 14/15

  • Разделим дробь на дробь: 15/16 * 15/14 = (15*15)/(16*14) = 225/224.
  • 225/224 > 1, так как числитель больше знаменателя.
  • Вывод: 15/16 : 14/15 > 1

Пример 7: Сравните с единицей: 2023/2025 * 2024/2022

  • Оценим каждую дробь:
    • 2023/2025 < 1 (числитель меньше знаменателя)
    • 2024/2022 > 1 (числитель больше знаменателя)
  • Умножаем дробь < 1 на дробь > 1. Что будет?
  • Способ (точный): Перемножим: (2023 * 2024) / (2025 * 2022)
  • Сравним числитель и знаменатель. Числитель: 2023 * 2024. Знаменатель: 2025 * 2022.
    • 2025 > 2023 на 2.
    • 2022 < 2024 на 2.
  • Можно доказать, что знаменатель будет больше числителя, значит, вся дробь < 1.
  • Вывод: 2023/2025 * 2024/2022 < 1

Алгоритм действий для сравнения выражений

  1. Упростите выражения: выполните возможные арифметические действия (сложение, вычитание), сократите дроби.
  2. Проанализируйте структуру:
    • Есть ли общий множитель?
    • Можно ли заменить деление на умножение?
    • Являются ли дроби правильными или неправильными?
  3. Оцените результат:
    • Сравните с ключевыми числами (0, ½, 1).
    • Примените свойства умножения/деления на число больше или меньше единицы.
  4. Если не помогло — вычислите: приведите все выражения к обыкновенным или десятичным дробям и найдите их значения.

Главная хитрость — не вычислять всё подряд, а искать закономерности и применять свойства арифметических операций!

Примеры

1. 1/3 + 1/6 и 1/2

  • Решение: 1/3 + 1/6 = 2/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2. Ответ: =.

2. 2/5 - 1/10 и 3/10

  • Решение: 2/5 - 1/10 = 4/10 - 1/10 = 3/10. Ответ: =.

3. 3/4 - 1/8 и 5/8

  • Решение: 3/4 - 1/8 = 6/8 - 1/8 = 5/8. Ответ: =.

4. 1/2 + 1/4 и 3/4

  • Решение: 1/2 + 1/4 = 2/4 + 1/4 = 3/4. Ответ: =.

5. 7/8 - 1/4 и 1/2

  • Решение: 7/8 - 1/4 = 7/8 - 2/8 = 5/8. 5/8 > 4/8 (1/2). Ответ: >.

6. 1/4 + 1/3 и 1/6 + 1/2

  • Решение:
    • 1/4 + 1/3 = 3/12 + 4/12 = 7/12
    • 1/6 + 1/2 = 2/12 + 6/12 = 8/12
    • 7/12 < 8/12. Ответ: <.

7. 2/7 + 3/14 и 5/14 + 3/7

  • Решение:
    • 2/7 + 3/14 = 4/14 + 3/14 = 7/14 = 1/2
    • 5/14 + 3/7 = 5/14 + 6/14 = 11/14
    • 7/14 < 11/14. Ответ: <.

8. 5/12 + 1/6 и 1/3 + 1/4

  • Решение:
    • 5/12 + 1/6 = 5/12 + 2/12 = 7/12
    • 1/3 + 1/4 = 4/12 + 3/12 = 7/12
    • Ответ: =.

9. 1/5 + 1/10 и 2/5 - 1/10

  • Решение:
    • 1/5 + 1/10 = 2/10 + 1/10 = 3/10
    • 2/5 - 1/10 = 4/10 - 1/10 = 3/10
    • Ответ: =.

10. 3/8 + 1/4 и 7/8 - 1/2

  • Решение:
    • 3/8 + 1/4 = 3/8 + 2/8 = 5/8
    • 7/8 - 1/2 = 7/8 - 4/8 = 3/8
    • 5/8 > 3/8. Ответ: >.

Прокрутить вверх