Сравнение выражений с корнями

От /

Давайте разберем, как сравнивать выражения, содержащие действия с корнями.

Умножение на сопряженное

Прямое сравнение разностей или сумм корней (например, √a - √b и √c - √d) часто очень затруднительно, так как сложно оценить разницу «на глаз».

Суть приема: Сопряженным выражением к √a + √b является √a - √b, и наоборот. Их произведение дает разность квадратов, что избавляет от радикалов:
(√a + √b)(√a - √b) = a - b

Это преобразование позволяет:

  1. Избавиться от иррациональности в числителе или знаменателе.
  2. Превратить разность корней в дробь, которую often гораздо легче сравнивать, особенно если у дробей одинаковые числители.

Когда применять?

  • Идеально для сравнения разностей вида √a - √b.
  • Для упрощения выражений с корнями в знаменателе.

Таблица-памятка

ЦельПреобразование (формула)Результат
Упростить разность корней√a - √b = (a - b) / (√a + √b)Дробь с рациональным числителем
Сравнить две разности(√a - √b) ? (√c - √d) → (a-b)/(√a+√b) ? (c-d)/(√c+√d)Сравнение дробей

Давайте сравним √8 – √5 и √10 – √7.

Этот метод идеален для сравнения разностей корней.

  1. Преобразуем каждое выражение, умножив и разделив на сопряженное:
    • √8 – √5 = (√8 – √5) * (√8 + √5) / (√8 + √5) = (8 — 5) / (√8 + √5) = 3 / (√8 + √5)
    • √10 – √7 = (√10 – √7) * (√10 + √7) / (√10 + √7) = (10 — 7) / (√10 + √7) = 3 / (√10 + √7)
  2. Теперь задача свелась к сравнению двух дробей:
    3 / (√8 + √5) и 3 / (√10 + √7)
  3. Сравним знаменатели дробей:
    У обеих дробей одинаковые числители (равны 3). Поэтому больше будет та дробь, у которой знаменатель МЕНЬШЕ.Сравним:
    √8 + √5 и √10 + √7Проанализируем почленно:
    • √10 > √8
    • √7 > √5
    Сложив эти неравенства, получаем:
    (√10 + √7) > (√8 + √5)
  4. Делаем вывод о дробях:
    Так как (√10 + √7) > (√8 + √5), то:
    3 / (√10 + √7) < 3 / (√8 + √5)
  5. Возвращаемся к исходным выражениям:
    Мы помним, что:
    • 3 / (√8 + √5) = √8 – √5
    • 3 / (√10 + √7) = √10 – √7
    Следовательно:
    √10 – √7 < √8 – √5

Ответ: √8 – √5 > √10 – √7

1. Что больше: √7 - √6 или √5 - √4?

  • Решение:
    • √7 - √6 = (7-6) / (√7+√6) = 1 / (√7+√6)
    • √5 - √4 = (5-4) / (√5+√4) = 1 / (√5+2)
  • Сравниваем дроби с одинаковыми числителями:
    1 / (√7+√6) и 1 / (√5+2)
  • Знаменатель: √7+√6 ≈ 2.64+2.45=5.09, √5+2≈2.23+2=4.23
  • Чем больше знаменатель, тем меньше дробь.
  • 5.09 > 4.23 ⇒ 1/5.09 < 1/4.23
  • Ответ: √7 - √6 < √5 - √4

2. Сравните: √11 - √10 и √6 - √5

  • Решение:
    • √11 - √10 = 1 / (√11+√10)
    • √6 - √5 = 1 / (√6+√5)
  • Сравниваем знаменатели: √11+√10 и √6+√5
  • Очевидно, что √11+√10 > √6+√5
  • Следовательно, 1/(√11+√10) < 1/(√6+√5)
  • Ответ: √11 - √10 < √6 - √5

3. Что больше: 1 / (√5 + √3) или 1 / (√6 + √2)?

  • Решение:
    • У дробей одинаковые числители. Сравниваем знаменатели.
    • √5+√3 ≈ 2.23+1.73=3.96
    • √6+√2 ≈ 2.45+1.41=3.86
    • 3.96 > 3.86 ⇒ 1/3.96 < 1/3.86
  • Ответ: 1 / (√6 + √2) > 1 / (√5 + √3)

4. Сравните: √100 - √99 и √10 - √9

  • Решение:
    • √100 - √99 = 1 / (10+√99) ≈ 1 / (10+9.95)=1/19.95
    • √10 - √9 = 1 / (√10+3) ≈ 1 / (3.16+3)=1/6.16
  • 1/19.95 < 1/6.16
  • Ответ: √100 - √99 < √10 - √9
  • Это наглядно показывает правило: чем больше числа, тем меньше разность их корней.

5. Расположите в порядке убывания: √8 - √7, √6 - √5, √10 - √9

  • Решение: Преобразуем все в дроби:
    • A = √10 - √9 = 1 / (√10+√9) = 1 / (≈3.16+3=6.16)
    • B = √8 - √7 = 1 / (√8+√7) = 1 / (≈2.83+2.65=5.48)
    • C = √6 - √5 = 1 / (√6+√5) = 1 / (≈2.45+2.24=4.69)
  • Чем меньше знаменатель дроби, тем больше сама дробь.
  • Знаменатели: 6.16 (A) > 5.48 (B) > 4.69 (C)
  • Значит, сами дроби: A < B < C
  • Ответ (порядок убывания): √6 - √5 > √8 - √7 > √10 - √9

Свойство: разность соседних квадратных корней уменьшается с ростом числа.

Рассмотрим функцию d(n) = 1 / (√(n+1) + √n).

  • Знаменатель √(n+1) + √n возрастает с ростом n.
  • Если знаменатель положительной дроби возрастает, то сама дробь d(n) убывает.

Так как √(n+1) + √n неограниченно возрастает при увеличении n, то разность √(n+1) - √n неограниченно приближается к нулю. Это означает, что график функции y = √x на больших значениях x становится все более пологим.

Давайте проиллюстрируем это наглядно с помощью таблицы численных значений.

Таблица разностей соседних квадратных корней

n√n (прибл.)√(n+1) (прибл.)Разность d = √(n+1) - √n (прибл.)
11.0001.4140.414
21.4141.7320.318
31.7322.0000.268
42.0002.2360.236
52.2362.4490.213
62.4492.6460.197
72.6462.8280.182
82.8283.0000.172
93.0003.1620.162
103.1623.3170.155
204.4724.5830.111
507.0717.1410.070
10010.00010.0500.050

Примеры для самостоятельного решения

1. Что больше: √5 - √3 или √7 - √5?
2. Сравните: √10 - √8 и √6 - √4
3. Что больше: 1 / (√7 + √5) или 1 / (√8 + √4)?
4. Сравните: √50 - √49 и √10 - √9
5. Расположите в порядке возрастания: √5 - √4, √6 - √5, √7 - √6

Ответы и краткие решения

1. Что больше: √5 - √3 или √7 - √5?

  • Решение:
    • √5 - √3 = (5-3)/(√5+√3) = 2/(√5+√3)
    • √7 - √5 = (7-5)/(√7+√5) = 2/(√7+√5)
  • Числители одинаковы (2). Сравниваем знаменатели:
    √7+√5 > √5+√3 (т.к. √7 > √3)
  • Вывод: Дробь с большим знаменателем меньше.
  • Ответ: √5 - √3 > √7 - √5

2. Сравните: √10 - √8 и √6 - √4

  • Решение:
    • √10 - √8 = (10-8)/(√10+√8) = 2/(√10+√8)
    • √6 - √4 = (6-4)/(√6+√4) = 2/(√6+2)
  • Числители одинаковы (2). Сравниваем знаменатели:
    √10+√8 ≈ 3.16 + 2.83 = 5.99
    √6+2 ≈ 2.45 + 2 = 4.45
  • 5.99 > 4.45 ⇒ 2/5.99 < 2/4.45
  • Ответ: √10 - √8 < √6 - √4

3. Что больше: 1 / (√7 + √5) или 1 / (√8 + √4)?

  • Решение:
    • У дробей одинаковые числители (1). Сравниваем знаменатели:
      √7+√5 ≈ 2.65 + 2.24 = 4.89
      √8+√4 ≈ 2.83 + 2 = 4.83
  • 4.89 > 4.83 ⇒ 1/4.89 < 1/4.83
  • Ответ: 1 / (√8 + √4) > 1 / (√7 + √5)

4. Сравните: √50 - √49 и √10 - √9

  • Решение:
    • √50 - √49 = √50 - 7 ≈ 7.07 - 7 = 0.07
    • √10 - √9 = √10 - 3 ≈ 3.16 - 3 = 0.16
  • Ответ: √50 - √49 < √10 - √9
  • Это наглядно показывает важное правило: разность корней уменьшается с ростом чисел (при одинаковой разности подкоренных выражений).

5. Расположите в порядке возрастания: √5 - √4, √6 - √5, √7 - √6

  • Решение: Преобразуем все в дроби с числителем 1:
    • A = √5 - √4 = 1/(√5+√4) = 1/(≈2.24+2=4.24)
    • B = √6 - √5 = 1/(√6+√5) = 1/(≈2.45+2.24=4.69)
    • C = √7 - √6 = 1/(√7+√6) = 1/(≈2.65+2.45=5.10)
  • Чем больше знаменатель дроби, тем меньше сама дробь.
  • Знаменатели: 4.24 (A) < 4.69 (B) < 5.10 (C)
  • Значит, сами дроби: A > B > C
  • Ответ (порядок возрастания): √7 - √6 < √6 - √5 < √5 - √4

Возведение в квадрат

Непосредственно сравнивать выражения под корнем часто невозможно, особенно когда это суммы или разности нескольких корней.

Суть приема: Если мы знаем, что оба сравниваемых выражения неотрицательны, то справедливо правило: a ≥ b ≥ 0 тогда и только тогда, когда a² ≥ b².

Это значит, что вместо сравнения исходных выражений мы можем сравнить их квадраты. Это избавляет нас от корней и часто сильно упрощает задачу.

Важное ограничение: Прием работает ТОЛЬКО для неотрицательных выражений. Если есть риск, что одно из выражений отрицательно, этот метод применять нельзя.

Пошаговый алгоритм

  1. Убедиться, что A > 0 и B > 0.
  2. Возвести оба выражения в квадрат: A² и B².
  3. Упростить полученные выражения (раскрыть скобки по формулам сокращенного умножения).
    • (√a + √b)² = a + b + 2√(ab)
    • (√a - √b)² = a + b - 2√(ab) (если a > b)
  4. Сравнить A² и B².
  5. Сделать вывод об исходных выражениях: если A² > B², то и A > B.

Внимание! Иногда после первого возведения в квадрат корни не исчезают. В этом случае шаги 2-4 нужно повторить для новых выражений, убедившись, что они тоже положительны.

Таблица-памятка

Тип выраженияВозведение в квадрат (формула)Когда применять?
A = √a + √bA² = a + b + 2√(ab)a, b > 0
A = √a — √bA² = a + b - 2√(ab)a > b
A = k√a A² = k² * ak>0

1. Что больше: √5 + √6 или √3 + √8?
Решение: Возводим в квадрат.
(√5+√6)² = 5+6+2√30 = 11+2√30
(√3+√8)² = 3+8+2√24 = 11+2√24
Так как √30 > √24, то 11+2√30 > 11+2√24.
Ответ: √5 + √6 > √3 + √8

2. Что больше: 2√6 или √10 + √2?
Решение: Сравним (2√6)² и (√10+√2)².
(2√6)² = 4*6 = 24
(√10+√2)² = 10+2+2√20 = 12+2√20 ≈ 12+8.94=20.94
24 > 20.94, следовательно, 2√6 > √10 + √2.
Ответ: 2√6 > √10 + √2

Что больше: √15 - √10 или √14 - √11?
Решение: Оба выражения положительны. Возводим в квадрат.
(√15-√10)² = 15+10-2√150 = 25 - 2√150
(√14-√11)² = 14+11-2√154 = 25 - 2√154
Так как √154 > √150, то -2√154 < -2√150.
Следовательно, 25 - 2√154 < 25 - 2√150.
Ответ: √14 - √11 < √15 - √10

4. Сравните: √7 + 1 и √10.
Решение: Сравним (√7+1)² и (√10)².
(√7+1)² = 7 + 1 + 2√7 = 8 + 2√7 ≈ 8+5.29=13.29
(√10)² = 10
13.29 > 10, следовательно, √7 + 1 > √10.
Ответ: √7 + 1 > √10

5. Расположите в порядке возрастания: 2√2, √7, √5 + 1.
Решение: Сравним квадраты всех чисел.
(2√2)² = 8
(√7)² = 7
(√5+1)² = 5+1+2√5=6+2√5≈6+4.47=10.47
Получаем: 7 < 8 < 10.47.
Следовательно, исходный порядок: √7 < 2√2 < √5 + 1.

Примеры для самостоятельного решения

1. Что больше: √5 + √6 или √7 + √4?
2. Сравните: 2√3 и √13
3. Что больше: √10 - √3 или √11 - √4? (Внимание: убедитесь, что выражения положительны)
4. Сравните: √8 + 1 и √5 + √2
5. Расположите в порядке возрастания: √12, 2√2, 3

Ответы и краткие решения

1. Что больше: √5 + √6 или √7 + √4?

  • Решение:
    • (√5+√6)² = 5 + 6 + 2√30 = 11 + 2√30
    • (√7+√4)² = 7 + 4 + 2√28 = 11 + 2√28
    • Так как √30 > √28, то 11+2√30 > 11+2√28
  • Ответ: √5 + √6 > √7 + √4

2. Сравните: 2√3 и √13

  • Решение:
    • (2√3)² = 4 * 3 = 12
    • (√13)² = 13
    • 12 < 13
  • Ответ: 2√3 < √13

3. Что больше: √10 - √3 или √11 - √4?

  • Проверка: Оба выражения положительны (√10>√3, √11>√4).
  • Решение:
    • (√10-√3)² = 10 + 3 - 2√30 = 13 - 2√30
    • (√11-√4)² = 11 + 4 - 2√44 = 15 - 2√44
    • Сравнивать такие выражения неудобно. Лучше использовать метод сопряженного (см. примечание ниже).
  • Примечание: Для сравнения разностей часто лучше использовать преобразование:
    √a - √b = (a-b)/(√a+√b).
    Тогда:
    • √10-√3 = 7/(√10+√3)
    • √11-√4 = 7/(√11+√4)
    • Знаменатель первой дроби больше (√10+√3 > √11+√2), значит, сама дробь меньше.
  • Ответ: √10 - √3 < √11 - √4

4. Сравните: √8 + 1 и √5 + √2

  • Решение:
    • (√8+1)² = 8 + 1 + 2√8 = 9 + 2√8 ≈ 9 + 5.66 = 14.66
    • (√5+√2)² = 5 + 2 + 2√10 = 7 + 2√10 ≈ 7 + 6.32 = 13.32
    • 14.66 > 13.32
  • Ответ: √8 + 1 > √5 + √2

5. Расположите в порядке возрастания: √12, 2√2, 3

  • Решение: Сравним квадраты:
    • (√12)² = 12
    • (2√2)² = 4*2 = 8
    • (3)² = 9
    • Получаем: 8 < 9 < 12
  • Ответ: 2√2 < 3 < √12

Подбор «буфера»

Прием называется метод сравнения с промежуточным числом («буфером») или транзитивное сравнение.

Суть приема

Если нам сложно напрямую сравнить A и B, мы подбираем такое число C, что:

  1. Очевидно, что A < C (или A > C).
  2. Очевидно, что C < B (или C > B).

Тогда, по свойству транзитивности неравенств, мы можем сделать вывод:
Если A < C и C < B, то A < B.

Сравнить √7 + √10 и √3 + √19

  • Проблема: Прямое возведение в квадрат было громоздким.
  • Решение с «буфером»: Можно попробовать подобрать буфер. Например, 6.
    1. Докажем, что √7 + √10 < 6.
      • Возведем в квадрат: (√7 + √10)² = 17 + 2√70 ≈ 17 + 16.73 = 33.73.
      • 6² = 36.
      • 33.73 < 36, значит, √7 + √10 < 6.
    2. Докажем, что 6 < √3 + √19.
      • Возведем в квадрат: (√3 + √19)² = 22 + 2√57 ≈ 22 + 15.1 = 37.1.
      • 6² = 36.
      • 37.1 > 36, значит, √3 + √19 > 6.
    3. Вывод: Получили цепочку: √7 + √10 < 6 < √3 + √19. Следовательно, √7 + √10 < √3 + √19.

Оценка (прикидка)

Умение быстро и точно прикидывать значения выражений с корнями — суперсила для решения задач и просто для развития математической интуиции. Вот основные приемы.

Знать «опорные» квадраты и корни

Это основа основ. Вы должны знать их назубок, как таблицу умножения.

ЧислоКвадратКорень (≈)
111.000
241.414
391.732
4162.000
5252.236
6362.449
7492.646
8642.828
9813.000
101003.162
111213.317
121443.464
131693.606
141963.742
152253.873

Вариант 1. Оценки между известными точками

Если число n лежит между двумя известными квадратами a² и b², то √n лежит между a и b.

Найти √50.

  1. Ближайшие квадраты: 49 (7²) и 64 (8²). Значит, √50 между 7 и 8.
  2. 50 — 49 = 1 (на сколько «перевалило» за 49)
  3. Разница между квадратами: 64 — 49 = 15
  4. Прикидка: 7 + (1 / 15) ≈ 7 + 0.067 ≈ 7.067

Чтобы подобрать два последовательных целых числа, между которыми заключено данное число (квадратный корень), нужно найти такое целое число n, чтобы выполнялось условие: n² ≤ число < (n+1)². Тогда n ≤ √(число) < n+1.

ВыражениеНижняя граница (n)Верхняя граница (n+1)
√2756
√4067
√1201011
√9,234
√0,401
√1534
√1671213
√2881617

Сравните с нулём значение выражения:

√27

  1. Находим ближайшие квадраты:
    5² = 25, 6² = 36.
  2. Проверяем:
    25 ≤ 27 < 36 → 5 ≤ √27 < 6.
    Ответ: 5 и 6.

√40

  1. Находим ближайшие квадраты:
    6² = 36, 7² = 49.
  2. Проверяем:
    36 ≤ 40 < 49 → 6 ≤ √40 < 7.
    Ответ: 6 и 7.

√7 – 3

  1. Оценим √7:
    √4 = 2, √9 = 3 → значит, √7 между 2 и 3.
    Более точно: √7 ≈ 2.64575.
  2. Тогда √7 – 3 ≈ 2.64575 – 3 = –0.35425.
    Ответ: отрицательное (меньше нуля). ❌

11 – √107

  1. Оценим √107:
    10² = 100, 11² = 121 → значит, √107 между 10 и 11.
    Более точно: √107 ≈ 10.34408.
  2. Тогда 11 – √107 ≈ 11 – 10.34408 = 0.65592.
    Ответ: положительное (больше нуля). ✅

√85 – 4

  1. Оценим √85:
    9² = 81, 10² = 100 → значит, √85 между 9 и 10.
    Более точно: √85 ≈ 9.21954.
  2. Тогда √85 – 4 ≈ 9.21954 – 4 = 5.21954.
    Ответ: положительное (больше нуля). ✅

19 – √326

  1. Оценим √326:
    18² = 324, 19² = 361 → значит, √326 между 18 и 19.
    Более точно: √326 ≈ 18.05547.
  2. Тогда 19 – √326 ≈ 19 – 18.05547 = 0.94453.
    Ответ: положительное (больше нуля). ✅

15 – √225

  1. Вычислим √225:
    √225 = 15 (т.к. 15² = 225).
  2. Тогда 15 – √225 = 15 – 15 = 0.
    Ответ: равно нулю. 🔄

√625 – 25

  1. Вычислим √625:
    √625 = 25 (т.к. 25² = 625).
  2. Тогда √625 – 25 = 25 – 25 = 0.
    Ответ: равно нулю. 🔄

Итог в виде таблицы:

ВыражениеСравнение с нулём
а) √7 – 3< 0
б) 11 – √107> 0
в) √85 – 4> 0
г) 19 – √326> 0
д) 15 – √225= 0
е) √625 – 25= 0

Вариант 2. Формула оценки: √(a² + x) ≈ a + x/(2a)

Как это работает:

  • a — это целое число, квадрат которого (a²) максимально близок к нашему числу под корнем.
  • x — это разница между нашим числом и a² (может быть положительной или отрицательной).
  • Формула дает очень точное приближение, особенно когда x относительно невелико по сравнению с a².

Найти √50.

  • a=7, x=1 → 7 + 1/(2*7) = 7 + 1/14 ≈ 7.071

Сравнить √50 и 7.07

  1. Оценим √50 по формуле:
    • Ближайший квадрат: 7² = 49. Значит, a = 7, x = 50 - 49 = 1.
    • √50 ≈ 7 + 1/(2*7) = 7 + 1/14 ≈ 7 + 0.0714 = 7.0714
    • (Реальное значение: √50 = 7.0711, ошибка 0.0003!).
  2. Сравниваем: 7.0714 ≈ 7.07 ⇒ √50 ≈ 7.07.

Примеры для самостоятельного решения

Попрактикуйтесь на этих примерах: √20, √45, √32, √85, √120

Ответы для проверки:

√120 = 2√30 ≈ 2 * 5.477 = 10.954

√20 = 2√5 ≈ 4.47

√45 = 3√5 ≈ 6.71

√32 = 4√2 ≈ 5.66

√85 ≈ 9.22 (9²=81, 9 + 4/18 ≈ 9.22)

Давайте разберем, как использовать оценку (прикидку) и формулу √(a² + x) ≈ a + x/(2a) для сравнения выражений с корнями на примере.

Сравнить √8 – √5 и √10 – √7

Здесь нужно оценить каждое выражение отдельно.

  1. Оценим √8 – √5:
    • √8 ≈ 2.828 (т.к. 2.8²=7.84, x=0.16, 2.8 + 0.16/5.6 ≈ 2.8 + 0.0286 = 2.8286)
    • √5 ≈ 2.236
    • √8 – √5 ≈ 2.828 - 2.236 = 0.592
  2. Оценим √10 – √7:
    • √10 ≈ 3.162
    • √7 ≈ 2.646 (т.к. 2.6²=6.76, x=0.24, 2.6 + 0.24/5.2 ≈ 2.6 + 0.0462 = 2.6462)
    • √10 – √7 ≈ 3.162 - 2.646 = 0.516
  3. Сравниваем: 0.592 > 0.516 ⇒ √8 – √5 > √10 – √7.
Прокрутить вверх