В треугольнике АВС средняя линия DЕ параллельна стороне АВ. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь трапеции АВЕD равна 36.
△
Треугольник ABC
↔️
DE — срединная линия, DE ∥ AB
📊
SABED = 36 (площадь трапеции ABED)
🎯
Найти: S△ABC (площадь треугольника ABC)
Теория
Свойство срединной линии
Срединная линия треугольника параллельна одной из сторон и равна её половине:
\[ DE = \frac{1}{2} AB, \quad DE \parallel AB \]
Площади подобных треугольников
Если треугольники подобны с коэффициентом подобия k, то отношение их площадей равно k².
Высота трапеции
Трапеция ABED и треугольник CDE имеют общую высоту.
Решение
1
Так как DE — срединная линия, то:
\[ DE = \frac{1}{2} AB \]
△CDE подобен △CAB с коэффициентом подобия \( k = \frac{1}{2} \).
2
Отношение площадей подобных треугольников:
\[ \frac{S_{\triangle CDE}}{S_{\triangle CAB}} = k^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \]
Обозначим \( S_{\triangle CAB} = S \), тогда \( S_{\triangle CDE} = \frac{S}{4} \).
3
Площадь трапеции ABED:
\[ S_{ABED} = S_{\triangle CAB} — S_{\triangle CDE} = S — \frac{S}{4} = \frac{3S}{4} \]
4
По условию \( S_{ABED} = 36 \):
\[ \frac{3S}{4} = 36 \]
\[ S = \frac{36 \cdot 4}{3} = 48 \]
Площадь треугольника ABC:
48
\( S_{\triangle ABC} = 48 \)