Средняя линия треугольника

Шаг 1: Найдём гипотенузу треугольника по теореме Пифагора:

$c=\sqrt{{10}^2+{24}^2}=\sqrt{100+576}=\sqrt{676}=26$

Шаг 2: Найдём все три средние линии треугольника (каждая равна половине соответствующей стороны):

• Средняя линия, параллельная катету 10: $\frac{10}{2}=5$

• Средняя линия, параллельная катету 24: $\frac{24}{2}=12$

• Средняя линия, параллельная гипотенузе 26: $\frac{26}{2}=13$

Шаг 3: Наибольшая из этих средних линий равна 13.

Шаг 1: Найдём второй катет по теореме Пифагора:

$a=\sqrt{{26}^2—{24}^2}=\sqrt{676—576}=\sqrt{100}=10$

Шаг 2: Найдём все три средние линии:

• Средняя линия, параллельная катету 10: $\frac{10}{2}=5$

• Средняя линия, параллельная катету 24: $\frac{24}{2}=12$

• Средняя линия, параллельная гипотенузе 26: $\frac{26}{2}=13$

Шаг 3: Наименьшая из этих средних линий равна 5.

Шаг 1: Отрезок MN — средняя линия, соединяющая середины боковых сторон AB и BC. По свойству средней линии она параллельна основанию AC и равна его половине:

$\mathrm{AC}=2\cdot \mathrm{MN}=2\cdot 15=30$

Шаг 2: В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также высотой и биссектрисой. Поэтому треугольник ABK — прямоугольный с прямым углом при K.

Шаг 3: Точка K — середина основания AC, поэтому:

$\mathrm{AK}=\frac{\mathrm{AC}}{2}=\frac{30}{2}=15$

Шаг 4: В прямоугольном треугольнике ABK по теореме Пифагора найдём гипотенузу AB:

$\mathrm{AB}=\sqrt{{\mathrm{AK}}^2+{\mathrm{BK}}^2}=\sqrt{{15}^2+8^2}=\sqrt{225+64}=\sqrt{289}=17$

Шаг 1: Треугольник MBN образован средней линией MN. По свойству средней линии треугольник MBN подобен треугольнику ABC с коэффициентом подобия $\frac{1}{2}$.

Шаг 2: Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

$\frac{S_{\mathrm{MBN}}}{S_{\mathrm{ABC}}}={\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$

Шаг 3: Найдём площадь треугольника MBN:

$S_{\mathrm{MBN}}=\frac{S_{\mathrm{ABC}}}{4}=\frac{124}{4}=31$

Шаг 1: Треугольник MBN подобен треугольнику ABC с коэффициентом подобия $\frac{1}{2}$.

Шаг 2: Отношение площадей:

$\frac{S_{\mathrm{MBN}}}{S_{\mathrm{ABC}}}=\frac{1}{4}$

Шаг 3: Выразим площадь треугольника ABC:

$S_{\mathrm{ABC}}=4\cdot S_{\mathrm{MBN}}=4\cdot 23=92$

Шаг 1: Четырёхугольник AMNC состоит из треугольника ABC без треугольника MBN.

Шаг 2: Найдём площадь треугольника MBN (он составляет ¼ площади ABC):

$S_{\mathrm{MBN}}=\frac{S_{\mathrm{ABC}}}{4}=\frac{76}{4}=19$

Шаг 3: Найдём площадь четырёхугольника AMNC:

$S_{\mathrm{AMNC}}=S_{\mathrm{ABC}}—S_{\mathrm{MBN}}=76—19=57$

Альтернативный способ: Четырёхугольник AMNC составляет ¾ площади всего треугольника:

$S_{\mathrm{AMNC}}=\frac{3\cdot S_{\mathrm{ABC}}}{4}=\frac{3\cdot 76}{4}=57$

Шаг 1: Четырёхугольник AMNC составляет $\frac{3}{4}$ площади всего треугольника ABC (так как треугольник MBN составляет $\frac{1}{4}$).

Шаг 2: Обозначим площадь треугольника ABC через S. Тогда:

$\frac{3S}{4}=84$

Шаг 3: Решим уравнение относительно S:

$3S=84\cdot 4=336$

$S=\frac{336}{3}=112$

Проверка: Площадь треугольника MBN = 112 ÷ 4 = 28. Тогда площадь четырёхугольника = 112 − 28 = 84 ✓

Шаг 1: Отрезок $MN$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$, значит он является средней линией треугольника $ABC$.

Шаг 2: По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне ($AC$) и равна её половине:

$MN=\frac{AC}{2}=\frac{24}{2}=12$

Шаг 1: Отрезок $GH$ — средняя линия треугольника $DEF$, соединяющая середины сторон $DE$ и $EF$.

Шаг 2: Средняя линия параллельна третьей стороне ($DF$) и равна её половине:

$GH=\frac{DF}{2}$

Шаг 3: Выразим сторону $DF$:

$DF=2\cdot GH=2\cdot 5=10$

Шаг 1: В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Шаг 2: Точка $M$ — середина гипотенузы $AB$, значит отрезок $CM$ является медианой к гипотенузе.

Шаг 3: Применим свойство медианы прямоугольного треугольника:

$CM=\frac{AB}{2}=\frac{42}{2}=21$

Комментарий: Это свойство можно понять через окружность: вершина прямого угла лежит на окружности с диаметром-гипотенузой, поэтому расстояние от этой вершины до середины гипотенузы (центра окружности) равно радиусу, то есть половине гипотенузы.

Шаг 1: Точка $M$ — середина стороны $AB$, значит отрезок $CM$ является медианой треугольника $ABC$, проведённой из вершины $C$.

Шаг 2: Точка $N$ — середина стороны $BC$, значит отрезок $AN$ также является медианой треугольника, проведённой из вершины $A$.

Шаг 3: Точка $O$ — точка пересечения двух медиан треугольника. По свойству медиан треугольника, они пересекаются в одной точке (центроиде) и делятся ею в отношении $2:1$, считая от вершины.

Шаг 4: Для медианы $CM$ имеем:

$CO:OM=2:1$

Шаг 5: Вся медиана $CM=9$ состоит из трёх равных частей, из которых две части приходятся на отрезок $CO$:

$CO=\frac{2}{3}\cdot CM=\frac{2}{3}\cdot 9=6$

Комментарий Представьте, что медиану разделили на 3 равных отрезка. От вершины до точки пересечения — 2, от точки пересечения до стороны — 1. Поэтому $CO$ составляет 2/3 всей медианы.