Средняя скорость — это физическая величина, которая показывает, какой путь в среднем проходит тело за единицу времени за всё время движения.
Средняя скорость
Что такое средняя скорость?
Средняя скорость — это физическая величина, равная отношению всего пройденного пути ко всему затраченному времени.
Пример из жизни
Если вы ехали 2 часа со скоростью 60 км/ч, а потом 2 часа со скоростью 100 км/ч, то:
- Общий путь: 2×60 + 2×100 = 320 км
- Общее время: 4 часа
- Средняя скорость: 320 ÷ 4 = 80 км/ч
Среднее арифметическое: (60+100)/2 = 80 км/ч — совпало только потому, что временные интервалы равны!
Формула средней скорости
Основная формула:
\[ v_{\text{ср}} = \frac{S_{\text{общ}}}{t_{\text{общ}}} \]
Два основных случая
1. Известны временные интервалы
Если известны отрезки времени \(t_1, t_2, …\) и скорости на них \(v_1, v_2, …\):
\[ v_{\text{ср}} = \frac{v_1 t_1 + v_2 t_2 + …}{t_1 + t_2 + …} \]
В частном случае при равных временных интервалах можно использовать среднее арифметическое.
2. Известны участки пути
Если известны участки пути \(S_1, S_2, …\) и скорости на них \(v_1, v_2, …\):
\[ v_{\text{ср}} = \frac{S_1 + S_2 + …}{\frac{S_1}{v_1} + \frac{S_2}{v_2} + …} \]
В частном случае при равных участках пути используется среднее гармоническое.
Формула для равных участков пути
Если все участки равны между собой:
\[ v_{\text{ср}} = \frac{n}{\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2} + … + \frac{1}{v_n}} \]
Для двух участков: \( v_{\text{ср}} = \frac{2v_1 v_2}{v_1 + v_2} \)
Для трёх участков: \( v_{\text{ср}} = \frac{3}{\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2} + \frac{1}{v_3}} \)
Алгоритм нахождения средней скорости
- Определите тип задачи:
- Даны временные интервалы?
- Даны участки пути?
- Даны доли пути (половина, треть)?
- Найдите общий путь:
- Если путь задан явно — используйте его
- Если не задан — введите удобную величину:
💡 Советы по выбору величины:
• Для долей пути (треть, половина) → берите НОК знаменателей
• Для временных интервалов → берите 1 час или 2 часа
• Для смешанных задач → берите удобное число, кратное скоростям
- Разбейте путь/время на участки согласно условию
- Для каждого участка вычислите недостающую величину:
- Если известен путь и скорость → время \( t_i = \frac{S_i}{v_i} \)
- Если известны время и скорость → путь \( S_i = v_i \cdot t_i \)
- Найдите общий путь и общее время
- Подставьте в формулу: \( v_{\text{ср}} = \frac{S_{\text{общ}}}{t_{\text{общ}}} \)
- Запишите ответ с единицами измерения
Тренировочные задачи
Типовые задачи с решениями
Задача 1. Автомобиль проехал первую треть пути со скоростью 60 км/ч, вторую — со скоростью 100 км/ч, последнюю — со скоростью 30 км/ч. Найдите среднюю скорость.
Решение:
Пусть весь путь \( S \). Тогда \( S_1 = S_2 = S_3 = \frac{S}{3} \).
Времена: \( t_1 = \frac{S/3}{60} = \frac{S}{180},\ t_2 = \frac{S/3}{100} = \frac{S}{300},\ t_3 = \frac{S/3}{30} = \frac{S}{90} \).
Общее время: \( t = \frac{S}{180} + \frac{S}{300} + \frac{S}{90} = \frac{5S + 3S + 10S}{900} = \frac{18S}{900} = \frac{S}{50} \).
Средняя скорость: \( v_{\text{ср}} = \frac{S}{S/50} = 50 \) км/ч.
Ответ: \( \boxed{50} \) км/ч.
Задача 2 (смешанный тип). Велосипедист проехал 30 км со скоростью 15 км/ч, а затем 20 км со скоростью 10 км/ч. Найдите среднюю скорость на всём пути.
Решение:
- Общий путь: \( S_{\text{общ}} = 30 + 20 = 50 \) км
- Время на первом участке: \( t_1 = \frac{30}{15} = 2 \) ч
- Время на втором участке: \( t_2 = \frac{20}{10} = 2 \) ч
- Общее время: \( t_{\text{общ}} = 2 + 2 = 4 \) ч
- Средняя скорость: \( v_{\text{ср}} = \frac{50}{4} = 12.5 \) км/ч
Ответ: \( \boxed{12.5} \) км/ч.
Проверь себя!
Решите задачи и проверьте ответы. Округляйте до целых, если получается дробь.
1а. Первые 3 часа автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, следующие 2 часа – со скоростью 75 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути (км/ч).
1б. Первые 2 часа автомобиль ехал со скоростью 75 км/ч, следующие 4 часа – со скоростью 45 км/ч. Найдите среднюю скорость (км/ч).
2а. Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 54 км/ч, а вторую – со скоростью 90 км/ч. Найдите среднюю скорость (км/ч).
2б. Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 84 км/ч, а вторую – со скоростью 96 км/ч. Найдите среднюю скорость (км/ч).
3а. Первые 180 км автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, следующие 210 км – со скоростью 105 км/ч, а последние 150 км – со скоростью 50 км/ч. Найдите среднюю скорость (км/ч).
3б. Первые 250 км автомобиль ехал со скоростью 125 км/ч, следующие 170 км – со скоростью 85 км/ч, а последние 120 км – со скоростью 60 км/ч. Найдите среднюю скорость (км/ч).
Калькулятор средней скорости
Введите скорости на равных участках пути (км/ч):
⚠️ Калькулятор работает для равных участков пути (например, первая треть, вторая треть и т.д.)
- Равные участки пути — когда путь делится на равные части (половина, треть и т.д.)
- Равные временные интервалы — когда движение происходит в течение равных промежутков времени
- Произвольные значения — когда заданы конкретные пути и скорости на них