Подобие: треугольники

От /

Подобные треугольники — это не просто фигуры с одинаковыми углами и пропорциональными сторонами. Они обладают неожиданными и мощными свойствами, которые применяются в геометрии, физике, инженерии и даже искусстве!

Подобие треугольников: полная теория и задачи

Определение подобия треугольников

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны пропорциональны.

\(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1 \Leftrightarrow\)
\(\angle A = \angle A_1,\ \angle B = \angle B_1,\ \angle C = \angle C_1\)
и \(\dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{BC}{B_1C_1} = \dfrac{AC}{A_1C_1} = k\)

Число \(k\) называется коэффициентом подобия.

Свойства подобных треугольников

В любых подобных треугольниках все соответствующие углы равны. Это значит, что форма треугольников одинаковая, несмотря на разницу в размерах.

Соответствующие стороны подобных треугольников соотносятся как одно число — коэффициент подобия \(k\). Если одна сторона одного треугольника в \(k\) раз больше соответствующей стороны другого, то так же пропорциональны все остальные стороны.

Не только стороны, но и все остальные элементы треугольников — высоты, медианы, биссектрисы, радиусы вписанных и описанных окружностей — пропорциональны с коэффициентом подобия \(k\).

Равенство углов

Соответствующие углы подобных треугольников равны:

\(\angle A = \angle A_1,\ \angle B = \angle B_1,\ \angle C = \angle C_1\)

Пропорциональность сторон

Соответствующие стороны пропорциональны:

\(\dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{BC}{B_1C_1} = \dfrac{AC}{A_1C_1} = k\)

Пропорциональность линейных элементов

Все соответствующие линейные элементы пропорциональны с коэффициентом \(k\):

\(\dfrac{h}{h_1} = \dfrac{m}{m_1} = \dfrac{l}{l_1} = \dfrac{r}{r_1} = k\)

где \(h, m, l, r\) — высоты, медианы, биссектрисы, радиусы окружностей

Коэффициент подобия и его применение

Основные соотношения с коэффициентом подобия \(k\)

Периметры

Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия:

\(\dfrac{P}{P_1} = k\)

Площади

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

\(\dfrac{S}{S_1} = k^2\)

Объемы подобных тел

Для подобных фигур в пространстве (пирамид, призм, конусов) отношение объемов равно кубу коэффициента подобия:

\(\dfrac{V}{V_1} = k^3\)

Практическое применение

Эти соотношения позволяют решать множество практических задач:

  • Определение реальных размеров объекта по его модели
  • Расчет материалов для строительства по макету
  • Определение расстояний до недоступных объектов
  • Масштабирование чертежей и карт

Все теоремы о подобии треугольников

Первый признак подобия (по двум углам)

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Если \(\angle A = \angle A_1\) и \(\angle B = \angle B_1\),
то \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\)

Второй признак подобия (по пропорциональным сторонам и углу между ними)

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы между этими сторонами равны, то треугольники подобны.

Если \(\dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{AC}{A_1C_1}\)
и \(\angle A = \angle A_1\),
то \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\)

Третий признак подобия (по трем пропорциональным сторонам)

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Если \(\dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{BC}{B_1C_1} = \dfrac{AC}{A_1C_1}\),
то \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\)

Теорема Фалеса

Если параллельные прямые пересекают стороны угла, то они отсекают на его сторонах пропорциональные отрезки.

Если \(AA_1 \parallel BB_1 \parallel CC_1\),
то \(\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{A_1B_1}{B_1C_1}\)

Теорема о средней линии треугольника

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Если \(M\) и \(N\) - середины \(AB\) и \(AC\),
то \(MN \parallel BC\) и \(MN = \dfrac{1}{2} BC\)

Теорема о биссектрисе треугольника

Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

Если \(AL\) - биссектриса,
то \(\dfrac{BL}{LC} = \dfrac{AB}{AC}\)

Свойство высоты в прямоугольном треугольнике

Высота, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, делит его на два треугольника, подобных исходному и друг другу.

\(\triangle ABC,\ \angle C = 90^\circ,\ CD \perp AB\)
\(\Rightarrow \triangle ACD \sim \triangle ABC \sim \triangle CBD\)

Свойство касательной и секущей

Квадрат отрезка касательной равен произведению отрезков секущей, проведенных из той же точки.

\(PT^2 = PA \times PB\)

Типовые задачи с решениями

1

Нахождение коэффициента подобия и сторон

Треугольники \(ABC\) и \(DEF\) подобны. Известно, что \(AB = 8\ \text{см}\), \(BC = 12\ \text{см}\), \(AC = 10\ \text{см}\), а сторона \(DE = 6\ \text{см}\). Найдите коэффициент подобия и стороны \(EF\) и \(DF\).

Решение:

Определим коэффициент подобия как отношение соответствующих сторон:
\(k = \dfrac{DE}{AB} = \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4} = 0.75\)
Найдем сторону \(EF\):
\(EF = BC \times k = 12 \times 0.75 = 9\ \text{см}\)
Найдем сторону \(DF\):
\(DF = AC \times k = 10 \times 0.75 = 7.5\ \text{см}\)

Ответ: \(k = 0.75\), \(EF = 9\ \text{см}\), \(DF = 7.5\ \text{см}\).

2

Применение первого признака подобия

В треугольниках \(ABC\) и \(MNK\) известно, что \(\angle A = \angle M = 40^\circ\), \(\angle B = \angle N = 80^\circ\). Сторона \(AB = 20\ \text{см}\), \(BC = 15\ \text{см}\), \(MN = 30\ \text{см}\). Найдите сторону \(NK\).

Решение:

По первому признаку подобия (два угла равны) треугольники подобны: \(\triangle ABC \sim \triangle MNK\).
Найдем коэффициент подобия:
\(k = \dfrac{MN}{AB} = \dfrac{30}{20} = 1.5\)
Найдем сторону \(NK\):
\(NK = BC \times k = 15 \times 1.5 = 22.5\ \text{см}\)

Ответ: \(NK = 22.5\ \text{см}\).

3

Отношение площадей подобных треугольников

Площади двух подобных треугольников равны \(36\ \text{см}^2\) и \(100\ \text{см}^2\). Одна из сторон первого треугольника равна \(9\ \text{см}\). Найдите соответствующую сторону второго треугольника.

Решение:

Найдем отношение площадей:
\(\dfrac{S_2}{S_1} = \dfrac{100}{36} = \dfrac{25}{9}\)
Отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия:
\(k^2 = \dfrac{25}{9} \Rightarrow k = \sqrt{\dfrac{25}{9}} = \dfrac{5}{3}\)
Найдем соответствующую сторону:
\(a_2 = a_1 \times k = 9 \times \dfrac{5}{3} = 15\ \text{см}\)

Ответ: \(15\ \text{см}\).

4

Теорема о биссектрисе треугольника

В треугольнике \(ABC\) проведена биссектриса \(AL\). Известно, что \(AB = 14\ \text{см}\), \(AC = 21\ \text{см}\), \(BC = 25\ \text{см}\). Найдите длины отрезков \(BL\) и \(LC\).

Решение:

По теореме о биссектрисе:
\(\dfrac{BL}{LC} = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{14}{21} = \dfrac{2}{3}\)
Пусть \(BL = 2x\), \(LC = 3x\), тогда:
\(BL + LC = BC \Rightarrow 2x + 3x = 25 \Rightarrow 5x = 25 \Rightarrow x = 5\)
Находим отрезки:
\(BL = 2x = 10\ \text{см}\)
\(LC = 3x = 15\ \text{см}\)

Ответ: \(BL = 10\ \text{см}\), \(LC = 15\ \text{см}\).

5

Высота в прямоугольном треугольнике

В прямоугольном треугольнике \(ABC\) (\(\angle C = 90^\circ\)) проведена высота \(CD\) к гипотенузе \(AB\). Известно, что \(AD = 3\ \text{см}\), \(DB = 12\ \text{см}\). Найдите высоту \(CD\) и катеты треугольника.

Решение:

Найдем высоту \(CD\):
\(CD^2 = AD \times DB = 3 \times 12 = 36 \Rightarrow CD = 6\ \text{см}\)
Найдем гипотенузу \(AB\):
\(AB = AD + DB = 3 + 12 = 15\ \text{см}\)
Найдем катеты:
\(AC^2 = AB \times AD = 15 \times 3 = 45 \Rightarrow AC = \sqrt{5}\ \text{см}\)
\(BC^2 = AB \times DB = 15 \times 12 = 180 \Rightarrow BC = 6\sqrt{5}\ \text{см}\)

Ответ: \(CD = 6\ \text{см}\), \(AC = 3\sqrt{5}\ \text{см}\), \(BC = 6\sqrt{5}\ \text{см}\).

6

Средняя линия треугольника

В треугольнике \(ABC\) проведены средние линии. Периметр треугольника, образованного средними линиями, равен \(24\ \text{см}\). Найдите периметр треугольника \(ABC\).

Решение:

Треугольник из средних линий подобен исходному с коэффициентом \(\frac{1}{2}\).
Отношение периметров равно коэффициенту подобия:
\(\dfrac{P_{\text{мал}}}{P_{\text{бол}}} = \dfrac{1}{2}\)
Найдем периметр исходного треугольника:
\(P_{\text{бол}} = P_{\text{мал}} \times 2 = 24 \times 2 = 48\ \text{см}\)

Ответ: \(48\ \text{см}\).

7

Подобие в трапеции

В трапеции \(ABCD\) с основаниями \(AD\) и \(BC\) диагонали пересекаются в точке \(O\). \(AD = 24\ \text{см}\), \(BC = 8\ \text{см}\). Найдите отношение площадей треугольников \(BOC\) и \(AOD\).

Решение:

Треугольники \(BOC\) и \(AOD\) подобны по двум углам.
Коэффициент подобия:
\(k = \dfrac{BC}{AD} = \dfrac{8}{24} = \dfrac{1}{3}\)
Отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия:
\(\dfrac{S_{\triangle BOC}}{S_{\triangle AOD}} = k^2 = \left(\dfrac{1}{3}\right)^2 = \dfrac{1}{9}\)

Ответ: \(1:9\).

8

Практическая задача на подобие

Человек ростом \(1.7\ \text{м}\) стоит на расстоянии \(8\ \text{м}\) от фонарного столба. Длина тени человека равна \(2\ \text{м}\). Определите высоту фонарного столба.

Решение:

Тень столба: \(L = 8 + 2 = 10\ \text{м}\)
Из подобия треугольников:
\(\dfrac{H}{1.7} = \dfrac{10}{2} = 5\)
Высота столба:
\(H = 1.7 \times 5 = 8.5\ \text{м}\)

Ответ: \(8.5\ \text{м}\).

9

Подобие с параллельными прямыми

В треугольнике \(ABC\) на стороне \(AC\) отмечена точка \(D\) так, что \(AD = 5\ \text{см}\), \(DC = 10\ \text{см}\). Через точку \(D\) проведена прямая, параллельная \(AB\), которая пересекает сторону \(BC\) в точке \(E\). Известно, что \(AB = 18\ \text{см}\). Найдите \(DE\).

Решение:

Треугольники \(CDE\) и \(CAB\) подобны по двум углам:
• \(\angle C\) — общий для обоих треугольников
• \(\angle CDE = \angle CAB\) (как соответственные углы при параллельных прямых \(AB\) и \(DE\))
Нюанс: Важно правильно указать порядок вершин при записи подобия: \(\triangle CDE \sim \triangle CAB\) (а не \(\triangle ABC \sim \triangle DEC\)), чтобы сохранить соответствие углов: \(\angle C\) (общий), \(\angle CDE = \angle CAB\), \(\angle CED = \angle CBA\).
Коэффициент подобия:
\(k = \dfrac{DC}{AC} = \dfrac{10}{5 + 10} = \dfrac{10}{15} = \dfrac{2}{3}\)
Находим \(DE\):
\(DE = AB \times k = 18 \times \dfrac{2}{3} = 12\ \text{см}\)

Ответ: \(DE = 12\ \text{см}\).

10

Комбинированная задача на подобие

В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, равна \(12\ \text{см}\) и делит гипотенузу на отрезки, разность которых равна \(7\ \text{см}\). Найдите площадь треугольника.

Решение:

Пусть отрезки гипотенузы: \(x\) и \(y\), причем \(x > y\).
По условию: \(x - y = 7\)
По свойству высоты: \(h^2 = xy \Rightarrow 12^2 = xy \Rightarrow xy = 144\)
Решаем систему:
\(x - y = 7\)
\(xy = 144\)
Выразим \(x = y + 7\), подставим:
\((y + 7)y = 144 \Rightarrow y^2 + 7y - 144 = 0\)
\(D = 49 + 576 = 625\), \(\sqrt{D} = 25\)
\(y = \dfrac{-7 + 25}{2} = 9\) (\(y > 0\))
\(x = 9 + 7 = 16\)
Гипотенуза: \(c = x + y = 16 + 9 = 25\ \text{см}\)
Площадь: \(S = \dfrac{1}{2} \times c \times h = \dfrac{1}{2} \times 25 \times 12 = 150\ \text{см}^2\)

Ответ: \(150\ \text{см}^2\).

Алгоритм решения задач на подобие треугольников

  1. Найти равные углы в треугольниках (вертикальные, соответственные, накрест лежащие, равные по условию)
  2. Определить, по какому признаку треугольники подобны
  3. Записать пропорцию соответствующих сторон, сохраняя правильный порядок вершин
  4. Использовать свойства коэффициента подобия для связи периметров и площадей
  5. Решить полученное уравнение
  6. Проверить ответ подстановкой в исходные условия

Дополнительно

Прокрутить вверх