Свойства рациональной дроби

От /

Рациональная дробь — это дробь вида P(x) / Q(x), где P(x) и Q(x) — многочлены, причем многочлен Q(x) не является нулевым.

Свойства рациональных дробей

ДействиеФормулаВажное условие
Основное свойствоA/B = (A*M)/(B*M)M(x) ≠ 0
СложениеA/C + B/C = (A+B)/CC(x) ≠ 0
ВычитаниеA/C - B/C = (A-B)/CC(x) ≠ 0
Умножение(A/B) * (C/D) = (A*C)/(B*D)B(x) ≠ 0, D(x) ≠ 0
Деление(A/B) : (C/D) = (A*D)/(B*C)B(x) ≠ 0, C(x) ≠ 0, D(x) ≠ 0
Изменение знака-A/B = (-A)/B = A/(-B)B(x) ≠ 0

Главный вывод: Все свойства рациональных дробей являются естественным обобщением свойств обычных числовых дробей. Ключевое отличие и основная сложность — необходимость постоянно помнить об области определения (ОДЗ), чтобы не допустить деления на ноль.

Формулировка основного свойства: Значение рациональной дроби не изменится, если ее числитель и знаменатель умножить или разделить на один и тот же ненулевой многочлен.

Математическая запись:
A(x) / B(x) ≡ (A(x) * C(x)) / (B(x) * C(x))
A(x) / B(x) ≡ (A(x) : C(x)) / (B(x) : C(x))
где A(x), B(x), C(x) — многочлены, причем B(x) ≠ 0 и C(x) ≠ 0.

Ключевое отличие от обыкновенных дробей: Теперь мы работаем не с числами, а с многочленами. Это значит, что для сокращения нам нужно будет не просто находить общие делители-числа, а разлагать числитель и знаменатель на множители.

Область определения (ОДЗ) — ВАЖНО!
Поскольку на ноль делить нельзя, область определения дроби включает все значения переменной x, при которых знаменатель не равен нулю.
Когда мы умножаем числитель и знаменатель на многочлен C(x), мы можем расширить ОДЗ (добавить корни C(x)).
Когда мы сокращаем (делим) на многочлен C(x), мы можем сузить ОДЗ (убрать корни C(x)). Поэтому тождественное равенство дробей A(x)/B(x) = (A(x)*C(x))/(B(x)*C(x)) верно всюду, кроме точек, где C(x) = 0 или B(x) = 0.

Сокращение рациональных дробей

Сократить рациональную дробь — значит разделить ее числитель и знаменатель на их общий множитель, представляющий собой ненулевой многочлен.

https://pic.rutubelist.ru/video/2024-11-08/67/b0/67b0d25b5047e33dd90ce5f022ac8fa3.jpg

Алгоритм сокращения:

  1. Найти ОДЗ исходной дроби: определить, при каких x знаменатель обращается в ноль. Эти значения x необходимо исключить.
  2. Разложить на множители числитель и знаменатель дроби.
  3. Найти общий множитель числителя и знаменателя.
  4. Разделить числитель и знаменатель на этот общий множитель.
  5. Записать ответ, указав ограничения на x (исходя из ОДЗ исходной дроби и множителя, на который сокращали).

Примеры сокращения рациональных дробей

Пример 1: Простое сокращение

Сократите дробь: (3x²y) / (6xy³)

  1. ОДЗ: 6xy³ ≠ 0, значит x ≠ 0, y ≠ 0.
  2. Разложим на множители (здесь это просто представление в виде произведения):
    Числитель: 3 * x * x * y
    Знаменатель: 2 * 3 * x * y * y * y
  3. Общий множитель: 3 * x * y
  4. Сокращаем на общий множитель:
    (3x²y) / (6xy³) = (3 * x * x * y) / (2 * 3 * x * y * y * y) = x / (2y²)
  5. Ответ: x / (2y²), где x ≠ 0, y ≠ 0.

Пример 2: Сокращение с помощью формул сокращенного умножения

Сократите дробь: (x² - 9) / (x² - 6x + 9)

  1. ОДЗ: Знаменатель не равен нулю.
    x² - 6x + 9 ≠ 0
    Решаем уравнение: (x - 3)² = 0 => x = 3.
    Значит, x ≠ 3.
  2. Разложим на множители числитель и знаменатель:
    Числитель: x² - 9 = (x - 3)(x + 3) (разность квадратов)
    Знаменатель: x² - 6x + 9 = (x - 3)² (квадрат разности)
  3. Записываем дробь в развернутом виде:
    ((x - 3)(x + 3)) / ((x - 3)(x - 3))
  4. Общий множитель: (x - 3)
  5. Сокращаем на (x - 3):
    ((x - 3)(x + 3)) / ((x - 3)(x - 3)) = (x + 3) / (x - 3)
  6. Ответ: (x + 3) / (x - 3), где x ≠ 3. (Мы сократили на (x-3), поэтому обязаны указать, что x ≠ 3).

Пример 3: Сокращение с вынесением общего множителя

Сократите дробь: (2x² + 4x) / (x³ + 2x²)

  1. ОДЗ: x³ + 2x² ≠ 0 => x²(x + 2) ≠ 0 => x ≠ 0, x ≠ -2.
  2. Разложим на множители:
    Числитель: 2x² + 4x = 2x(x + 2)
    Знаменатель: x³ + 2x² = x²(x + 2)
  3. Записываем дробь: (2x(x + 2)) / (x²(x + 2))
  4. Общий множитель: x(x + 2)
  5. Сокращаем на общий множитель:
    (2x(x + 2)) / (x²(x + 2)) = 2 / x
  6. Ответ: 2 / x, где x ≠ 0, x ≠ -2.

Частые ошибки

  1. Нельзя сокращать отдельные слагаемые! Можно сокращать только множители (то, что стоит в числителе и знаменателе произведения).
    • НЕПРАВИЛЬНО: (x + 3) / (x + 5) сократить на x и получить (1 + 3) / (1 + 5).
    • (x + 3) и (x + 5) — это не множители, а слагаемые. Сокращение здесь невозможно.
  2. Всегда указывайте ОДЗ (ограничения)! После сокращения дробь может выглядеть так, будто ограничений нет, но они остаются от исходного знаменателя.
    • В Примере 2 после сокращения получилась дробь (x+3)/(x-3). Если не указать x ≠ 3, будет ошибка, так как исходное выражение при x=3 не имело смысла.
  3. Сокращать можно только на НЕНУЛЕВОЙ множитель. Условие C(x) ≠ 0 как раз и обеспечивается ограничениями из ОДЗ.
Прокрутить вверх