tg α = f'(x₀) — производная равна тангенсу угла наклона касательной
На рисунке изображён график функции y = f(x). Касательная проведена в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной f'(x₀).
→ f'(x₀) = tg α = Δy/Δx
На рисунке изображён график функции y = f(x). Составьте уравнение касательной в точке x₀.
→ y = f(x₀) + f'(x₀)(x — x₀)
На рисунке изображён график производной y = f'(x). Найдите абсциссу точки, где касательная к f(x) параллельна оси OX.
→ f'(x) = 0
На рисунке изображён график функции y = f(x). Определите угловой коэффициент касательной в точке x₀.
→ k = tg α = (y₂ — y₁)/(x₂ — x₁)
- Выбрать 2 точки на касательной с целыми координатами
- Δx = x₂ — x₁, Δy = y₂ — y₁
- tg α = Δy / Δx
- Вариант А: по графику f'(x) → f'(x₀)
- Вариант Б: аналитически: найти f'(x), подставить x₀
- tg α = f'(x₀)
- Вариант А (2 точки): k = (y₂ — y₁)/(x₂ — x₁)
- Вариант Б (производная): k = f'(x₀)
- y = f(x₀) + k·(x — x₀)
Графический
Производная
Уравнение касательной
y = 2.34 + 0.71·(x — 1.50)
y = 2.34 + 0.71·(x — 1.20)
📏 Метод 1:
Точки: (1.50; 2.34) и (2.50; 3.05)
Δx = 2.50 — 1.50 = 1.00
Δy = 3.05 — 2.34 = 0.71
tg α = 0.71/1.00 = 0.71
📈 Метод 2:
По графику f'(1.20) = 0.71
Аналитически: f'(x) = 0.25x³ — 0.3125x² — 1.3125x + 1.475
f'(1.20) = 0.71
tg α = 0.71
📐 Метод 3:
Через 2 точки: k = (3.05 — 2.34)/(2.50 — 1.50) = 0.71/1.00 = 0.71
y = 2.34 + 0.71·(x — 1.50)
Через производную: k = f'(1.20) = 0.71
y = 2.34 + 0.71·(x — 1.20)
Упрощённое уравнение: y = 0.71x + 1.49