Метод подбора
Это самый интуитивный способ, идеально подходящий для быстрого приближения.
Алгоритм:
- Найдите два ближайших к вашему числу полных квадрата (числа, из которых корень извлекается нацело).
- Корень будет находиться между корнями этих чисел.
- Оцените, насколько ваше число ближе к одному квадрату, чем к другому.
Пример: Найти √50.
- Ближайшие полные квадраты: 49 (7²) и 64 (8²). Значит, √50 лежит между 7 и 8.
- 50 — 49 = 1, а разница между квадратами 64 — 49 = 15.
- Число 50 очень близко к 49, поэтому корень будет чуть больше 7. Можно оценить как 7.1.
- Проверим: 7.1² = 51.41 (многовато).
- Попробуем 7.05² = 49.7025 (уже ближе).
- Попробуем 7.07² = 49.9849 (очень близко).
- Попробуем 7.08² = 50.1264 (уже перебор).
- Вывод: √50 ≈ 7.07
Метод «удвоения-деления» (упрощённый вавилонский метод)
- Древний Вавилон (~1800-1600 до н.э.): Самые ранние свидетельства использования этого алгоритма найдены на глиняных табличках, в частности на табличке YBC 7289, где вычисляется √2 с точностью до шести десятичных знаков. Вавилоняне использовали его для расчётов в архитектуре и астрономии.
- Герон Александрийский (I век н.э.): Опираясь на вавилонские источники или независимо, Герон подробно описал этот метод в своей работе «Метрика». В Европе метод стал широко известен под названием «метод Герона».
Применимо: Для любых чисел, быстро и с хорошей точностью.
Суть метода: Он основан на геометрической идее: если вы возьмёте прямоугольник со площадью S и сторонами n и S/n, то среднее арифметическое этих сторон даст сторону квадрата с площадью, близкой к S. Повторение процесса уточняет результат.
Быстрая оценка (метод подбора)
- Исаак Ньютон (1643-1727): Разработал общий метод решения уравнений (метод Ньютона-Рафсона). Для функции
f(x) = x² - Sего метод принимает вид:xₙ₊₁ = xₙ - (xₙ² - S)/(2xₙ) = (xₙ + S/xₙ)/2
Это в точности метод Герона. - Брук Тейлор (1685-1731): Формализовал идеи Ньютона в ряд Тейлора. Если взять разложение функции
f(X) = √Xв точкеa²и ограничиться первым членом, получится:√X ≈ a + (X - a²)/(2a)
Это и есть формула быстрой оценки.
Применимо: Для чисел, близких к полным квадратам.
Алгоритм:
- Найдите ближайший известный квадрат.
- Используйте линейную поправку.
Канадский метод
Этот метод алгебраически тождественен методу «быстрой оценки». Подставив a = √S, получим:a + (X - a²)/(2a) = √S + (X - S)/(2√S)
Пример 1: Вычисление √50
Истинное значение: √50 ≈ 7.071067811865
Быстрая оценка (a + b/2a)
a = 7(т.к. 7² = 49 ≤ 50)b = S - a² = 50 - 49 = 1√50 ≈ 7 + 1/(2×7) = 7 + 1/14 ≈ 7 + 0.07142857 = 7.07142857- Погрешность: +0.00036076
Канадский метод
S = 49(ближайший квадрат)√50 ≈ 7 + (50 - 49)/(2×7) = 7 + 1/14 = 7.07142857- Погрешность: +0.00036076
Пример 2: Вычисление √145
Истинное значение: √145 ≈ 12.0415945788
Быстрая оценка (a + b/2a)
- Берём
a=10(круглое число). √145 ≈ 10 + (145 - 100)/20 = 10 + 45/20 = 10 + 2.25 = 12.25- Погрешность: +0.208405
Канадский метод
- найти точный квадрат.
12²=144(ближе всего к 145). √145 ≈ 12 + (145-144)/24 = 12 + 1/24 ≈ 12 + 0.0416667 = 12.0416667- Погрешность: +0.00007209
Разложение на множители
Применимо: Если число можно упростить.
Быстрый расчёт корней от чисел, близких к 100
Корни от десятичных дробей
Топ-5 чисел, которые стоит знать:
| Число | x (≈) |
|---|---|
| 2 | 1,414 |
| 3 | 1,732 |
| 5 | 2,236 |
| 10 | 3,162 |
| 50 | 7,071 |
Практикум
