Теорема Фалеса

От /

Теорема Фалеса — Тренажёр

Историческая справка

Теорема названа в честь Фалеса Милетского (ок. 624 – ок. 546 до н.э.) — древнегреческого философа и математика, одного из «семи мудрецов».

Согласно легенде, он измерил высоту египетской пирамиды, используя подобие треугольников: когда длина его тени равнялась его росту, высота пирамиды равнялась длине её тени.

Формулировка теоремы

Теорема Фалеса: Если параллельные прямые пересекают две данные прямые и отсекают на одной из них равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой прямой.

Если \(A_1A_2 = A_2A_3\) и \(l_1 \parallel l_2 \parallel l_3\),
то \(B_1B_2 = B_2B_3\)

Обобщение — пропорциональные отрезки

Если две прямые пересечены параллельными прямыми, то отрезки на одной прямой пропорциональны соответствующим отрезкам на другой:

\[ \frac{A_1A_2}{A_2A_3} = \frac{B_1B_2}{B_2B_3} \]

Следствия

  • Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.
  • Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Пример 1. Равные отрезки

На прямой \(a\) отложены равные отрезки \(AB = BC = CD = 4\) см. Через точки \(A, B, C, D\) проведены параллельные прямые, пересекающие прямую \(b\) в точках \(K, L, M, N\). Найдите длину отрезка \(MN\), если \(KL = 4\) см.

Пошаговое решение:

Шаг 1: Анализируем условие
• На прямой \(a\): \(AB = BC = CD = 4\) см (равные отрезки)
• Прямые \(AK, BL, CM, DN\) параллельны между собой
Шаг 2: Применяем теорему Фалеса
Теорема Фалеса гласит: если параллельные прямые отсекают на одной прямой равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на любой другой прямой.
Шаг 3: Делаем вывод
Поскольку \(AB = BC = CD\), то и \(KL = LM = MN\)
Дано: \(KL = 4\) см → значит \(MN = 4\) см

Ответ: \(MN = 4\) см

Пример 2. Средняя линия треугольника

В треугольнике \(ABC\) точки \(M\) и \(N\) — середины сторон \(AB\) и \(AC\) соответственно. Найдите длину средней линии \(MN\), если \(BC = 14\) см.

Пошаговое решение:

Шаг 1: Определяем свойство средней линии
Средняя линия треугольника соединяет середины двух сторон.
По следствию теоремы Фалеса она параллельна третьей стороне и равна её половине.
Шаг 2: Применяем формулу
\(MN = \dfrac{1}{2} \cdot BC\)
Шаг 3: Подставляем значение
\(MN = \dfrac{1}{2} \cdot 14 = 7\) см

Ответ: \(MN = 7\) см

Пример 3. Пропорциональные отрезки

Прямые \(a\) и \(b\) пересечены тремя параллельными прямыми. На прямой \(a\) отрезки равны 6 см и 9 см. На прямой \(b\) первый отрезок равен 8 см. Найдите длину второго отрезка на прямой \(b\).

Пошаговое решение:

Шаг 1: Записываем пропорцию
По теореме о пропорциональных отрезках:
\(\dfrac{A_1A_2}{A_2A_3} = \dfrac{B_1B_2}{B_2B_3}\)
Шаг 2: Подставляем известные значения
\(A_1A_2 = 6\) см, \(A_2A_3 = 9\) см, \(B_1B_2 = 8\) см, \(B_2B_3 = x\) см
\(\dfrac{6}{9} = \dfrac{8}{x}\)
Шаг 3: Решаем пропорцию
\(6x = 9 \cdot 8\)
\(6x = 72\)
\(x = \dfrac{72}{6} = 12\) см

Ответ: второй отрезок равен 12 см

Задача 1. Горка и столб

Высота h деревянной горки, которую посередине подпирает столб, равна 3 м. Найдите высоту l этого столба в метрах.

Пошаговое решение:

Шаг 1: Анализируем геометрическую ситуацию
• Горка, столб и земля образуют прямоугольный треугольник
• Столб расположен посередине горки, значит делит её пополам
• Образуются два подобных треугольника
Шаг 2: Применяем свойство средней линии
Столб является средней линией треугольника, образованного горкой.
Средняя линия параллельна основанию и равна его половине.
\(l = \dfrac{h}{2}\)
Шаг 3: Подставляем значение
\(l = \dfrac{3}{2} = 1.5\) м

Ответ: высота столба 1.5 м

Задача 2. Обратная задача про горку

Деревянную горку посередине подпирает столб, высота которого равна 1,25 м. Найдите высоту h этой горки в метрах.

Пошаговое решение:

Шаг 1: Используем соотношение из предыдущей задачи
Столб посередине горки ⇒ является средней линией треугольника
Средняя линия равна половине соответствующей стороны
\(l = \dfrac{h}{2}\)
Шаг 2: Выражаем высоту горки
\(h = 2l\)
Шаг 3: Подставляем значение
\(h = 2 \times 1.25 = 2.5\) м

Ответ: высота горки 2.5 м

Задача 3. Перила лестницы

Перила лестницы крепятся на три столба, один из которых расположен посередине перил. Наименьший столб имеет высоту 1,5 м, наибольший – 2 м. Найдите высоту среднего столба в метрах.

Пошаговое решение:

Шаг 1: Понимаем геометрию задачи
• Три столба образуют точки на наклонной линии (перилах)
• Средний столб расположен посередине
• Высоты столбов изменяются линейно
Шаг 2: Применяем свойство средней линии
Средний столб находится на середине отрезка между крайними столбами.
В линейной функции значение в средней точке равно среднему арифметическому крайних значений.
\(h_{\text{сред}} = \dfrac{h_{\text{мин}} + h_{\text{макс}}}{2}\)
Шаг 3: Вычисляем
\(h_{\text{сред}} = \dfrac{1.5 + 2}{2} = \dfrac{3.5}{2} = 1.75\) м

Ответ: высота среднего столба 1.75 м

Задача 4. Ребёнок и фонарь

Ребёнок стоит на расстоянии 4 м от фонарного столба высотой 6 м. Тень ребёнка равна 1 м. Найдите рост ребёнка. Ответ дайте в метрах.

Пошаговое решение:

Шаг 1: Рисуем схему
• Фонарный столб: 6 м
• Расстояние от ребёнка до столба: 4 м
• Тень ребёнка: 1 м
• Солнечные лучи параллельны ⇒ подобные треугольники
Шаг 2: Обозначаем переменные
Пусть рост ребёнка = \(x\) м
Расстояние от столба до конца тени: 4 + 1 = 5 м
Длина тени столба: 5 м (от основания столба до конца тени)
Шаг 3: Составляем пропорцию
Треугольник "столб-тень" подобен треугольнику "ребёнок-тень":
\(\dfrac{\text{рост ребёнка}}{\text{высота столба}} = \dfrac{\text{тень ребёнка}}{\text{тень столба}}\)
\(\dfrac{x}{6} = \dfrac{1}{5}\)
Шаг 4: Решаем уравнение
\(x = 6 \times \dfrac{1}{5} = \dfrac{6}{5} = 1.2\) м

Ответ: рост ребёнка 1.2 м

Задача 5. Мужчина и фонарь

Мужчина ростом 1,8 м стоит возле фонарного столба высотой 9 м. Длина отбрасываемой мужчиной тени 1 м. На каком расстоянии от столба стоит мужчина? Ответ дайте в метрах.

Пошаговое решение:

Шаг 1: Анализируем ситуацию
• Высота столба: 9 м
• Рост мужчины: 1.8 м
• Длина тени мужчины: 1 м
• Солнечные лучи параллельны ⇒ подобные треугольники
Шаг 2: Обозначаем переменные
Пусть расстояние от мужчины до столба = \(d\) м
Тогда расстояние от столба до конца тени = \(d + 1\) м
Шаг 3: Составляем пропорцию
Из подобия треугольников:
\(\dfrac{\text{рост мужчины}}{\text{высота столба}} = \dfrac{\text{тень мужчины}}{\text{полная тень столба}}\)
\(\dfrac{1.8}{9} = \dfrac{1}{d + 1}\)
Шаг 4: Решаем уравнение
\(\dfrac{1.8}{9} = 0.2\)
\(0.2 = \dfrac{1}{d + 1}\)
\(d + 1 = \dfrac{1}{0.2} = 5\)
\(d = 5 - 1 = 4\) м
Шаг 5: Проверяем решение
Мужчина стоит в 4 м от столба.
Полная тень столба: 4 + 1 = 5 м.
Проверяем пропорцию: 1.8/9 = 0.2 = 1/5 ✓

Ответ: мужчина стоит в 4 м от столба

Дополнительно

https://www.e-osnova.ru/PDF/osnova_3_44_9064.pdf

Прокрутить вверх