В четырёхугольник АВСD вписана окружность, АВ = 10, ВС = 8 и СD = 14. Найдите четвёртую сторону четырёхугольника.
Формулировка теоремы
В выпуклый четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.
где a = AB, b = BC, c = CD, d = DA — стороны четырёхугольника.
Свойства описанных четырёхугольников
Четырёхугольник, в который можно вписать окружность, называется описанным.
Площадь описанного четырехугольника равна произведению полупериметра четырёхугольника на радиус вписанной в него окружности.
S = p × r, где p — полупериметр, r — радиус вписанной окружности.
Биссектрисы всех внутренних углов описанного четырёхугольника пересекаются в одной точке – центре вписанной окружности.
Отрезки касательных, проведённых из одной вершины к вписанной окружности, равны между собой.
Теорема справедлива только для выпуклых четырёхугольников.
Условия для различных четырёхугольников
Квадрат
✓ Всегда можно вписать окружность
Для квадрата: AB + CD = BC + DA всегда выполняется, так как все стороны равны: a + a = a + a.
Центр вписанной окружности совпадает с центром квадрата.
Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине его стороны.
Ромб
✓ Всегда можно вписать окружность
В любой ромб можно вписать окружность, так как для ромба: a + a = a + a (все стороны равны).
Центр вписанной окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей.
Прямоугольник
✗ Не всегда можно вписать окружность
Условие: a + a = b + b → 2a = 2b → a = b
Вывод: в прямоугольник можно вписать окружность только если он является квадратом.
Параллелограмм
✗ Не всегда можно вписать окружность
Условие: a + a = b + b → 2a = 2b → a = b
Вывод: в параллелограмм можно вписать окружность только если он является ромбом.
Равнобедренная трапеция
✓ Можно вписать окружность
Условие: сумма длин боковых сторон равна сумме длин оснований.
Для равнобедренной трапеции это условие выполняется тогда и только тогда, когда боковая сторона равна средней линии.
То есть: a + c = 2b, где a и c — основания, b — боковая сторона.
Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен половине ее высоты.
Выпуклый дельтоид (воздушный змей)
✓ Всегда можно вписать окружность
Для дельтоида с попарно равными смежными сторонами: a + a = b + b (если a и b — пары равных сторон).
Важно: это верно только для выпуклых дельтоидов.
Задачи на применение теоремы
Условие
В четырёхугольник ABCD вписана окружность. AB = 5, CD = 15. Найдите периметр ABCD.
Условие
Окружность вписана в четырёхугольник, периметр которого равен 56, две его стороны равны 12 и 20. Найдите большую из оставшихся сторон.
Условие
Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 7 и 4. Найдите среднюю линию трапеции.
Условие
Стороны описанного четырёхугольника относятся как 2:3:4:5. Найдите эти стороны, если периметр равен 56.
Условие
Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 38, средняя линия равна 11. Найдите боковую сторону трапеции.
Условие
В многоугольник вписана окружность, радиус которой равен 2. Найдите площадь многоугольника, если его периметр равен 16.
Историческая справка
Теорема о вписанной окружности в четырёхугольник является классическим результатом евклидовой геометрии с богатой историей. Её истоки можно проследить до работ древнегреческих математиков.
В трактате «Начала» Евклида (около 300 г. до н.э.), хотя теорема прямо не формулируется, содержатся все необходимые предпосылки — свойства касательных к окружности, которые позволяют вывести это условие.
Более явно теорема появляется в работах Архимеда (287–212 до н.э.), который в своём сочинении «О шаре и цилиндре» использовал свойства описанных многоугольников.
В эпоху эллинизма теорема была хорошо известна и активно использовалась. Папп Александрийский (IV век н.э.) в «Математическом собрании» приводит ряд задач, связанных со вписанными и описанными четырёхугольниками.
Значительный вклад в развитие теории четырёхугольников внесли средневековые персидские математики. Аль-Бируни (973–1048г) в трактате «Геодезия» применял свойства описанных четырёхугольников для решения практических задач измерения земельных участков.
В Европе эпохи Возрождения теорема стала частью стандартного курса геометрии. Леонард Эйлер (1707–1783) в XVIII веке обобщил многие свойства вписанных и описанных фигур, хотя его основные работы касались больше вписанных, чем описанных четырёхугольников.
Современная формулировка теоремы как необходимого и достаточного условия появилась в XIX веке в работах немецкого математика Карла Антона Бретшнайдера (1808–1876), который доказал обобщённую теорему Птолемея и тщательно исследовал свойства четырёхугольников.
Интересно, что аналогичные результаты независимо были получены и в других математических традициях. В древнекитайском трактате «Математика в девяти книгах» (I век н.э.) встречаются задачи на вычисление диаметра окружности, вписанной в четырёхугольный участок земли, что предполагает знание соответствующего условия.
Теорема сохраняет своё значение и в современной математике, являясь прекрасным примером связи между алгебраическими соотношениями (равенство сумм сторон) и геометрическими свойствами (возможность вписать окружность).